问题2012060501

证明向量组$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, 与向量组$\alpha_1 + \alpha_2$, $\alpha_2 + \alpha_3$, $\alpha_3 + \alpha_1$线性等价.

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高等代数简明教程 蓝以中

解答

显然向量组$\alpha_1 + \alpha_2$, $\alpha_2 + \alpha_3$, $\alpha_3 + \alpha_1$可以由向量组$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$线性表示.
反过来, 注意到如下表达式,
$$\begin{aligned}\alpha_1 &= \frac{1}{2}[(\alpha_1 + \alpha_2) + (\alpha_3 + \alpha_1) – (\alpha_2 + \alpha_3)] \\\alpha_2 &= \frac{1}{2}[(\alpha_2 + \alpha_3) + (\alpha_1 + \alpha_2) – (\alpha_3 + \alpha_1)] \\\alpha_3 &= \frac{1}{2}[(\alpha_3 + \alpha_1) + (\alpha_2 + \alpha_3) – (\alpha_1 + \alpha_2)] \end{aligned}$$
由此可知结论成立.

问题2012060502

设$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_s$线性无关, 证明$\alpha_1$, $\alpha_1 + \alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_s$线性无关.

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高等代数简明教程 蓝以中

解答

考虑表达式:
$$\begin{aligned}a_1\alpha_1 + a_2(\alpha_1 + \alpha_2) + \cdots + a_s(\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_s) = 0 \\(a_1 + a_2 + \cdots + a_s)\alpha_1 + (a_2 + \cdots + a_s)\alpha_2 + \cdots + a_s\alpha_s = 0\end{aligned}$$
由于$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_s$线性无关, 所以有
$$\begin{aligned}a_1 + a_2 + \cdots + a_s &= 0 \\a_2 + \cdots + a_s &= 0 \\&\cdots \\a_s &= 0\end{aligned}$$
从最后一个开始, 可以知道$a_1 = 0$, $\cdots$, $a_s = 0$, 命题成立.

问题2012060503

证明: 如果向量组$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_s$线性无关, 而$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_s$, $\beta$线性相关, 则$\beta$可被向量组$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_s$线性表示.

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高等代数简明教程 蓝以中

解答

由于$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_s$, $\beta$线性相关, 存在不全为零的数$a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_s$, $b$满足
$$a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + \cdots + a_s\alpha_s + b\beta = 0,$$
我们可以证明$b \neq 0$, 如果$b = 0$, 那么$a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_s$不全为零,
$$a_1\alpha_1 + a_2\alpha_2 + \cdots + a_s\alpha_s = 0,$$
这与$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\cdots$, $\alpha_s$线性无关矛盾. 于是我们可以用$\alpha_i$来表示$\beta$:
$$\beta = \frac{a_1}{b}\alpha_1 + \frac{a_2}{b}\alpha_2 + \cdots + \frac{a_s}{b}\alpha_s.$$

线性相关和线性无关是非常基础的概念。

由于公司事情比较多，暂时要停止一段时间了，争取早一点回来做这个。