这是我在学习韦伊的《Number Theory For Beginners》的一个翻译。全文十三章，这里分十三篇文章给出！
为了考虑系数在域$F_p$上的多项式, 以及该域上的方程, 我们先复习任意域$K$上的多项式的一些基本性质; 它们独立于域的性质, 它们类似于前面II, III, IV上描述的整数的性质.
在这一节中, 域$K$始终保持不变. $K$上的一个不定元$X$的多项式$P$ (也就是说系数在$K$上), 由下列形式给出
\[P(X) = a_0 + a_1X + \cdots + a_nX^n\]
其中$a_0, a_1, \ldots, a_n$属于$K$. 如果$a_n \neq 0$, $P$称作是$n$次的,我们用$n = \deg(P)$表示; 任意非0多项式都有次数. 加法和乘法以往常的方式定义, 这些多项式构成一个环, 常表示为$K[X]$. 如果$P$, $Q$是非0多项式, 则$\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$.
引理9.1 $A$, $B$为两个多项式, $B \neq 0$; $m = \deg(B)$. 存在唯一的多项式$Q$使得$A – BQ$或者等于0, 或者是小于$m$次的多项式.
(可以和第2节的引理比较一下). 如果$A = 0$, 那是不证自明的; 我们对$n = \deg(A)$实施归纳法: 首先我们证明$Q$的存在性. 如果$n < m$, 我们取$Q = 0$. 否则, 令$bX^m$为$B$的$m$次项, $aX^n$为$A$的$n$次项; 由于多项式$A’ = A – B \cdot (\frac{a}{b} X^{n – m})$的次数小于$n$, 利用归纳假设, 我们可以把它表示为$BQ’ + R$, 这里或者$R = 0$, 或者$R$的次数小于$n$. 于是$A = BQ + R$, 这里$Q = Q’ + \frac{a}{b}X^{n – m}$. 至于$Q$的唯一性, 令$A – BQ$和$A – BQ_1$为0或者其次数小于$m$; 因而这一点对于$B(Q – Q_1)$也是成立; 它的次数为$m + \deg(Q – Q_1)$, 除非$Q – Q_1 = 0$, 从而$Q$必须等于$Q_1$.
如果$R = 0$, $A = BQ$, $A$就称为$B$的倍式, 而$B$为$A$的因式. 如果$B = X – a$, 那么$R$必然为0, 或者是0次多项式, 也就是说是常数($K$中元素), 因此我们有
\[A = (X – a)Q + r\]
$r \in K$. 用$a$代替两边的$X$, 我们有$A(a) = r$; 如果它是0, 就称$a$为$A$的根. 因此$A$是$X – a$的倍式当且仅当$a$是$A$的根.
正如第2节中的引理推导出定理2.1一样, 我们有
定理9.2 设$\mathfrak{M}$是(域$K$)上的非空的多项式集合,对加法封闭, 因此, 如果$A$属于$\mathfrak{M}$, 那么所有的$A$的倍式也属于$\mathfrak{M}$. 那么$\mathfrak{M}$由所有的某个多项式$D$的所有倍式成的, 在忽略乘以一个非零常数的情形下$D$是唯一决定的.
如果$\mathfrak{M} = \{0\}$, 定理成立, 取$D = 0$. 否则, 在$\mathfrak{M}$中选择具有最小次数$d$的非0多项式$D$. 如果$A$属于$\mathfrak{M}$, 我们应用引理于$A$和$D$, 有$A = DQ + R$, $R$或者是0, 或者次数小于$d$. 于是$R = A + D \cdot (-Q)$也属于$\mathfrak{M}$, 根据$D$的定义$R$等于0, $A = DQ$. 如果$D_1$也有和$D$一样的性质, 那么它是$D$的倍数, $D$是$D_1$的倍数, 因此它们有相同的次数; $D_1 = DE$, 我们可知$E$的次数是0, 是非零常数.
称$aX^d$为$D$的$d$次项; 在这些和$D$只相差一个非零常数因子的所有多项式之中, 有且仅有一个多项式的最高项系数为1， 即$a^{-1}D$; 这样的多项式称为是规范化的.
正如在第2节中的那样, 我们可以对所有多项式$A, B, \ldots, C$的线性组合组成的集合$\mathfrak{M}$应用定理9.2; 这里$P, Q, \ldots, R$是任意的多项式. 如果$\mathfrak{M}$是由$D$的倍数组成的, $D$或者是0, 或者是一个规范化的多项式, $D$被称为$A, B, \ldots, C$的最大公因式, 并表示为$(A, B, \ldots, C)$. 和第2节一样, $D$是$A, B, \ldots, C$的因式, 并且$A, B, \ldots, C$的每一个公因式整除$D$. 如果$D = 1$, 则称$A, B, \ldots, C$互素; 它成立当且仅当存在多项式$P, Q, \ldots, R$满足
\[AP + BQ + \cdots + CR = 1.\]
如果$(A, B) = 1$, 则称$A$对$B$不可约, $B$对$A$不可约.
一个$n > 0$次多项式$A$称为是素的, 或者不可约的, 如果它没有大于0次小于$n$次的因式.任何一个1次的多项式都是不可约的. 我们需要注意到多项式的不可约性会随着域的改变而有所不同: 例如$X^2 + 1$在$Q$上不可约, 在实数域上也不可约, 但是在复数域上是可约的, $X^2 + 1 = (X + i)(X – i)$.
正如第4节一样, 我们可以证明每一个大于0次的多项式可以被唯一地表示为不可约多项式的乘积. 我们需要的是一个稍弱一点的结果:
定理9.3 $A$是$K$上的$n > 0$次多项式, 它能够在不考虑因子次序的情况下被唯一地表示为如下形式
\[A = (X – a_1)(X – a_2) \cdots (X – a_m)Q,\]
这里$0 \le m \le n$, $a_1, a_2, \ldots, a_m \in K$, $Q$在$K$中没有根.
如果$A$没有根, 这是显然的; 否则, 我们对$n$使用归纳法. 如果$A$有一个根$a$, $A = (X – a) A’$; $A’$的次数为$n – 1$, 我们可以对它应用这个定理; 把$A’$表示为前面的形式, 我们得到类似的乘积. 如果$A$能够以上述方式表示, 并有如下形式
\[A = (X – b_1)(X – b_2) \cdots (X – b_r)R\]
其中$R$在$K$中没有根, 于是$A$的根$a$必然是$a_i$之一, 也是$b_j$之一, 除以$X – a$之后, 我们得到$A’$的两个乘积, 根据归纳假设, 它们必然相等.
推论9.4 $n > 0$次多项式至多有$n$个不同的根.
习题
1. 给出$Q$上的多项式的最大公因式:
\[X^5 – X^4 – 6X^3 – 2X^2 + 5X + 3, X^3 – 3X – 2.\]
找出它们在域$F_3$上的最大公因式, 这里系数解释为模3同余类.
使用辗转相除法:
\[\begin{aligned}
X^5 – X^4 – 6X^3 – 2X^2 + 5X + 3 &= (x^2-x-3)(x^3-3x-2)\\
&+(-3x^2-6x-3) \\
(x^3-3x-2)&=\frac{-1}{3}(x-2)(-3x^2-6x-3)
\end{aligned}\]
于是在$Q$上的最大公因式为$x^2+2x+1=(x+1)^2$.
在$F_3$上的最大公因式也可以表示为上述形式.
2. 证明$X^4 + 1$是$Q$上的素多项式, 但是在习题6.12中定义的域上有2次因式.
证明：$X^4+1$没有实数根,因此在$R$上没有一次因式,在$Q$上也没有,所以如果$X^4+1$可以分解,我们可以设
\[X^4+1=(X^2+aX+b)(X^2+cX+d)\]
展开,比较对应项可以得到
\[\begin{aligned}
a + c &= 0\\
d + ac + b &= 0 \\
ad + bc &= 0\\
bd &= 1
\end{aligned}\]
如果$a=0$,那么$c=0$,$b=-d$,于是由$bd=1$,可知在$R$上无解.
$a \neq 0$,$a=-c$,$b=d$,$-a^2+2b=0$,$b^2=1$,如果$b=-1$,无解,必须$b=d=1$,$a=\sqrt{2}$,$c=-\sqrt{2}$,或者$a=-\sqrt{2}$,$c=\sqrt{2}$,这是唯一的实数解.
\[X^4+1=(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1).\]
获证.
3. Let $K$ be any field, and $R$ a subring of $K[X]$ containing $K$. Prove that there exists a finite set of polynomials $P_1$,$P_2$,$\cdots$,$P_N$ in $R$ such that $R$ consists of all the polynomials in $P_1$,$\cdots$,$P_N$ with coefficients in $K$ (Hint: call $d$ the g.c.d. of the degrees of all polynomials in $R$, take $P_1$,$\cdots$,$P_m$ in $R$ such that the g.c.d. of their degrees is $d$, and then apply the conclusion in exercise III.6).
设$K$是任意的域, $R$是包含$K$的$K[X]$的子环, 证明存在$R$中的有限个多项式集合$P_1, P_2, \ldots, P_N$, 使得$R$由系数在$K$上$P_1, P_2, \ldots, P_N$的组合的多项式组成. (提示: 令$d$为$R$中所有的多项式的次数的最大公约数, 选择$R$中的$P_1, P_2, \ldots, P_m$使得它们的次数的最大公约数为$d$, 然后对习题3.6应用这个结论).
这道题目不是很理解,首先,根据习题3.6,存在$L$,使得$l \ge L$时,对于每一个$ld$,存在正整数$x_1,\cdots,x_m$,使得
\[\sum{x_i\deg(P_i)}=ld.\]
是不是说把次数小于$Ld$的所有的$R$中的多项式取出来就是呢? 例如$X^n$,$n \le Ld$.需要证明能够取出有限个.