证明$c=2^a$,其中$c$为实数集$[0,1]$的势,$a$为自然数集的势.

分析(证明见那汤松的《实函数论》):

我们已知道$(a_1,a_2,\cdots)$,其中$a_k=0$或$1$组成的集的势为$c$,显然这一个比实数集更容易处理.而$2^a$的定义:自然数集的全体子集构成的集合的势为$2^a$.我们把它的元素明确地表示出来,$N^*=\{k_n\}$,现在的问题便是:$N^*=\{k_n\}$与$(a_1,a_2,\cdots)$怎样建立一一对应.这可以这样来完成:$k \in N^*$,$a_k=1$,$k \notin N^*$,$a_k=0$,这样就建立了一一对应,获证.

区间$[0,1]$上所定义的连续函数的全体组成集$\varPhi$,$\varPhi$的势为$a$.(引自那汤松的《实函数论》)

设$\varPhi^*=\{\sin{x}+k\}$,$k \in R$,则$\varPhi^* \subset \varPhi$,且$\varPhi^*=c$,因此$\varPhi \ge c$.所以证明$\varPhi \le c$就好了.

设$H$是实数数列$[u_1,u_2,\cdots]$的全体,则$H=c$.

将$[0,1]$中的所有有理数列为$r_1,r_2,\cdots$,对于每一个$f(x) \in \varPhi$,令$H$中的数列,$a_f=[f(r_1),f(r_2),\cdots]$与之对应,当$f \neq g$时,$a_f \neq a_g$,证明如下.

$a_f=a_g$表示$f(x)$与$g(x)$在$[0,1]$中的一切有理点$x$取值相同,由于函数的连续性,$f(x)$与$g(x)$在$[0,1]$中的任何点取值相同,即$f(x) \equiv g(x)$.

$H^*=\{a_f\}$,$\varPhi \sim H^*$,而$H^* \subset H$,$H=c$,故$\varPhi \le c$.

由此可得$\varPhi=c$.

(由于有理数是稠密的,因而从连续性可推出上述结论)