不定积分的微分

这一节没有新概念,主要是回答$F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$的可微性问题,在微积分基本定理中,它有$F'(x)=f(x)$,但是那里的$f(x)$是连续的,现在$f \in L([a,b])$,是否仍然成立?注意修改一个零测集上的函数值不会影响其积分,故一般的结论也只好能期望$F'(x)=f(x)$ a.e.,这个结论确实是成立的.

1. $F_h(x) = \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}$,则$F'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}{F_h(x)}$.

设$f \in L([a,b])$,令$F_h(x)=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}$,(当$x \notin [a,b]$时,$f(x)=0$)我们有$\int_{a}^{b}{|F_h(x)-f(x)|dx}$.即$F_h(x)$平均收敛于$f(x)$.

这里需要用到一个变换,$\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}=\int_{0}^{h}{f(x+t)dt}$,$\int_{a+t}^{b+t}{f(x)dx} = \int_{a}^{b}{f(x+t)dx}$.

令$g(x)=f(x)$,$x \in [a,b]$,$g(x)=0$,$x \notin [a,b]$,则

\[\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b}{g(x)dx} = \int_{R^1}{g(x)dx}=\int_{R^1}{g(x+t)dx}.\]

$g(x)=f(x)$,$x \in [a+t,b+t]$,$g(x)=0$,$x \notin [a+t,b+t]$,则

\[\begin{aligned}
\int_{a+t}^{b+t}{f(x)dx}&=\int_{a+t}^{b+t}{g(x)dx}=\int_{R^1}{g(x)dx}\\
&=\int_{R^1}{g(x+t)dx}=\int_{a}^{b}{g(x+t)dx}=\int_{a}^{b}{f(x+t)dx}\\
F_h(x)-f(x)&=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}{f(t)dt}-f(x)=\frac{1}{h}\int_{0}^{h}{f(x+t)dt} – f(x)\\
&=\frac{1}{h}\int_{0}^{h}{(f(x+t)-f(x))dt} \\
\int_{a}^{b}{|F_h(x)-f(x)|dx} &\le \int_{-\infty}^{+\infty}{[\frac{1}{h}\int_{0}^{h}{|f(x+t)-f(x)|dt}]dx} \\
&=\int_{0}^{h}{\frac{1}{h}dt}\int_{-\infty}^{+\infty}{|f(x+t)-f(x)|dx}
\end{aligned}\]

这是可以任意小的,$\int_{-\infty}^{+\infty}{|f(x+t)-f(x)|dx} < \epsilon$.

2. 设$f \in L([a,b])$,令$F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$,$t \in [a,b]$,则$F'(x)=f(x)$ a.e..

这就是本节一开始给出的结论,它说明$f(x)$为可积函数时,可以找到不定积分$F(x)$,前一节已经证明$F(x)$是有界变差函数,从而是几乎处处可微的,故可设$\lim_{h \rightarrow 0}{F_h(x)}=g(x)$,利用前一个结论,可证明$f(x)=g(x)$ a.e..$\int_{a}^{b}{|f(x)-g(x)|dx}=0$,放缩不等式的过程中需要用到Fatou引理.

$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}{f(t)dt}=f(x)$ a.e.或者说$\lim_{h \rightarrow 0}{\frac{1}{h}\int_{0}^{h}{|f(x+t)-f(x)|dt}}=0$,称满足这一等式的$x$为$f$的Lebesgue点,那么原结论就变为:$f \in L([a,b])$,则$[a,b]$中几乎所有点是Lebesgue点.

书中举了一个例子:$[0,1]$中的Dirichlet函数$\chi_{Q}(x)$.

绝对连续函数与微积分基本定理

这一节要解决这样的问题:$f(x)$是定义在$[a,b]$上的实值函数,$f(x)-f(a)=\int_{a}^{x}{f'(t)dt}$何时成立?

1. $f(x)$是有界变差的连续函数;

2. $h(x)=f(x)-\int_{a}^{x}{f'(t)dt}$,则$h'(x)=0$ a.e..$h(a)=f(a)$,$h(x)$几乎处处是常数,本来要使等式成立,$h(x)$必须恒为常数,但是这不一定成立:Cantor函数$\phi(x)$,$\phi'(x)=0$ a.e.,而$\phi(x)$不是常数.

这就需要研究$f(x)$不满足条件的情况,它实际上就是我们引入绝对连续函数的依据.

设$f(x)$在$[a,b]$上几乎处处可微且$f'(x)=0$ a.e.,若$f(x)$在$[a,b]$上不是常数函数,则必存在$\epsilon>0$,使得对任意的$\delta>0$,$[a,b]$内存在有限个互不相交的区间$(x_1,y_1)$,$(x_2,y_2)$,$\cdots$,$(x_n,y_n)$,其长度的总和小于$\delta$,使得$\sum{|f(y_i)-f(x_i)|}>\epsilon$.

(1)$f(c) \neq f(a)$,$E_c = \{x\in(a,c):f'(x)\neq 0\}$,注意$m(E_c)=m((a,c))=c-a$.

(2)从$f'(x)=0$可以得到$\forall r>0$,

\[|f(x+h)-f(x)|<rh,\]

$h$足够小.

(3)$[x,x+h]$构成$E_c$的一个Vitalli覆盖,$\forall \delta>0$,存在互不相交的区间组

\[[x_1,x_1+h_1],\cdots,[x_n,x_n+h_n],\]

满足

\[m(E_c \backslash \bigcup{[x_i,x_i+h_i]}) = m([a,c) \backslash \bigcup{[x_i,x_i+h_i)}) < \delta.\]

由于互不相交,可以作如下的排列:

\[a = x_0<x_1<x_1+h_1<x_2<x_2+h_2<\cdots<x_n<x_n+h_n<x_{n+1}=c,\]

此时

\[\begin{aligned}
|f(c)-f(a)| &\le \sum{|f(x_{i+1}) – f(x_i+h_i)|} + \sum{|f(x_i+h_i) – f(x_i)|} \\
&\le \sum{|f(x_{i+1}) – f(x_i+h)|} + r(b-a).
\end{aligned}\]

令$2\epsilon<|f(c)-f(a)|$,$r(b-a)<\epsilon$,于是$\epsilon>\sum{|f(x_{i+1}) – f(x_i+h_i)|}$,

\[\sum{(x_{i+1} – (x_i+h_i))} = m(E_c – \sum{(x_i,x_i+h_i)}) <\delta.\]

从这个结论可以引出绝对连续函数(也称全连续函数)的定义.

设$f(x)$是$[a,b]$上的实值函数,若对任给$\epsilon>0$,存在$\delta>0$,使得当$[a,b]$中任意有限个互不相交的开区间$(x_i,y_i)$满足$\sum(y_i-x_i)<\delta$时有

\[\sum|f(y_i)-f(x_i)|<\epsilon.\]

它有如下性质:

1. 绝对连续函数一定是连续函数;

这只要取特殊的一个区间$(x,y)$即可,$|y-x|<\epsilon$,可以得到$|f(y)-f(x)|<\epsilon$.

2. 在$[a,b]$上的绝对连续函数全体构成一个线性空间;

这只需要注意到

\[|(\alpha{f}+\beta{g})(y_i) – (\alpha{f}+\beta{g})(x_i)| \le |\alpha||f(y_i)-f(x_i)| + |\beta||g(y_i)-g(x_i)|.\]

即可.

例子:$f(x)$满足Lipschitz条件:$|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$,则$f(x)$为绝对连续函数.

3. 若$f \in L([a,b])$,则其不定积分$F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$是$[a,b]$上的绝对连续函数.

证明过程使用了积分的绝对连续性:$\forall \epsilon>0$,当$m(e)<\delta$时有

\[|\int_{e}{f(x)dx}|\le\int_{e}{|f(x)|dx}<\epsilon.\]

$F(x)$的$n$个互不相交的开区间

\[(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n),\]

当$\sum(y_i-x_i) < \delta$时

\[\begin{aligned}
\sum|F(y_i) – F(x_i)| &= \sum{|\int_{x_i}^{y_i}{f(t)dt}|} \le \int_{x_i}^{y_i}{|f(t)dt|} \\
&= \int_{\bigcup(x_i,y_i)}{|f(t)|dt} < \epsilon.
\end{aligned}\]

4. 若$f(x)$是$[a,b]$上的绝对连续函数,则$f(x)$是$[a,b]$上的有界变差函数.

要求分点小于$\epsilon$,则$V(f)<\epsilon$.

5. 若$f(x)$是$[a,b]$上的绝对连续函数,则$f(x)$在$[a,b]$上是几乎处处可微的,且$f'(x)$是$[a,b]$上的可积函数.

这只是前一道题的推论,因为有界变差函数有这样的结论.

6. 若$f(x)$是$[a,b]$上的绝对连续函数,且$f'(x)=0$,a.e.,则$f(x)$在$[a,b]$上等于一个常数.

这只需要从我们为什么需要引入绝对连续函数的理由就可以看出.

7. (微积分基本定理)若$f(x)$是$[a,b]$上的绝对连续函数,则

\[f(x)-f(a) = \int_{a}^{x}{f'(t)dt}.\]

只要综合利用前面的结论是很容易给出证明的.

它实际上是说,一个定义在$[a,b]$上的函数$f(x)$具有形式$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}{g(t)dt}$,$g(t) \in L([a,b])$的充分必要条件是:$f(x)$是$[a,b]$上的绝对连续函数,此时有$g(x)=f'(x)$ a.e..

书中给出了一个例子:设$g_k(x)$是$[a,b]$上的绝对连续函数,若(i)存在$c$,$a\le c \le b$,使得$\sum{g_k(c)}$收敛,(ii)$\sum{\int_{a}^{b}{|g_k'(x)|dx}}<\infty$,则级数$\sum{g_k(x)}$在$[a,b]$上收敛.设其极限为$f(x)$,则$f(x)$为$[a,b]$上的绝对连续函数.且有$f'(x)=\sum{g_k'(x)}$ a.e..

证明需要使用逐项积分的结论和上面总结的充要条件.

\[\sum{g_k(x)} = \int_{c}^{x}{\sum{g_k'(x)}dx} + \sum{g_k(c)}.\]

8. (分部积分公式)设$f(x)$,$g(x)$为$[a,b]$上的可积函数,$\alpha,\beta \in R^1$,令$F(x)=\alpha+\int_{a}^{x}{f(t)dt}$,$G(x)=\beta+\int_{a}^{x}{g(t)dt}$,则

\[\int_{a}^{b}{G(x)f(x)dx}+\int_{a}^{b}{g(x)F(x)dx} = F(b)G(b)-F(a)G(a).\]

$(F(x)G(x))’=F(x)G'(x)+F'(x)G(x)$ a.e.,而$G'(x)=g(x)$,$F'(x)=f(x)$.

可以转化为微积分中常用的形式:

设$f(x)$,$g(x)$是$[a,b]$上的绝对连续函数,则

\[\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx} + \int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx} = f(b)g(b)-f(a)g(a).\]

举了一个例子:设$f \in L([a,b])$,且有$\int_{a}^{b}{x^nf(x)dx}=0$,$n=1,2,\cdots$,则$f(x)=0$ a.e.

$F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$,$\int_{a}^{b}{x^nF(x)dx}=0$,$\int_{a}^{b}{F^2(x)dx}=\int_{a}^{b}{F(x)[F(x)-p(x)]dx}$,这里$p(x) \rightarrow F(x)$,因此$\int_{a}^{b}{F^2(x)dx}=0$,$F(x)=0$,于是$f(x)=0$ a.e..

注意$F(x)$是绝对连续的.

9. (积分第一中值公式)若$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数,$g(x)$是$[a,b]$上的非负可积函数.则存在$\xi \in [a,b]$,使得

\[\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_{a}^{b}{g(x)dx}.\]

(积分第二中值公式)若$f \in L([a,b])$,$g(x)$是$[a,b]$上的单调函数,则存在$\xi \in [a,b]$,使得

\[\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = g(a)\int_{a}^{\xi}{f(x)dx} + g(b)\int_{\xi}^{b}{f(x)dx}.\]

前一个证明简单:

\[c \le \frac{\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}}{\int_{a}^{b}{g(x)dx}} \le d, \quad c \le f(x) \le d.\]

后一个结论的证明稍微复杂一些:

令$F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$,则$F(x)$就成了连续函数,使用分部积分法,$g(x)$单调,可以取单调上升来讨论,则$g'(x) \ge 0$.

只不过使用分部积分法要求$g(x)$为绝对连续函数,对于其它函数使用绝对连续函数来逼近它即可.