这一章主要讨论微积分基本定理.$F(x) = \int_{a}^{x}{f(t)dt} = \int_{a}^{x}{f^+(t)dt} – \int_{a}^{x}{f^-(t)dt}$,为单调函数之差,所以书中首先研究单调函数.

单调函数的可微性

这一节主要讨论了Vitalli覆盖定理和单调函数的可微性,这里先介绍概念:

1. Vitalli覆盖:设$E \subset R^1$,$\Gamma=\{I_{\alpha}\}$是一个区间族,若对任意$x\in E$,以及$\epsilon>0$,存在$I_{\alpha} \in \Gamma$,使得$x \in I_{\alpha}$,$|I_{\alpha}|<\epsilon$,则称$\Gamma$是$E$在Vitalli意义下的一个覆盖.

2. Dini导数:设$f(x)$是定义在$R^1$中点$x_0$的一个邻域上的实值函数,令

\[\begin{aligned}
D^+f(x_0) &= \overline{lim}_{h \rightarrow 0^+}{\frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}}\\
D_+f(x_0) &= \underline{lim}_{h \rightarrow 0^+}{\frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}}\\
D^-f(x_0) &= \overline{lim}_{h \rightarrow 0^-}{\frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}}\\
D_-f(x_0) &= \underline{lim}_{h \rightarrow 0^-}{\frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}}
\end{aligned}\]

分别称它们为$f(x)$在$x_0$点的右上导数,右下导数,左上导数,左下导数,这个概念实际上是把导数概念中的极限拆分成几个部分,以一种更细的角度来考虑了.

接下来是讨论相关的定理的时候了:

1. Vitalli覆盖定理:设$E \subset R^1$,且$m^*(E)<\infty$,若$\Gamma$是$E$的Vitalli覆盖,则对于任意的$\epsilon>0$,存在有限个互不相交的$I_j \in \Gamma$($j=1,2,\cdots,n$)使得$m^*(E \backslash \bigcup_{j=1}^{n}{I_j}) < \epsilon$.

这个结论中关键的是它的覆盖变成了有限个(子集),有限对于许多问题的解决通常有帮助,注意这个结论与有限覆盖定理的区别.

选择$I_n$的原则如下:

(i)任取一区间$I_1 \in \Gamma$;

(ii)设已选出互不相交的区间$I_1,\cdots, I_k$,若$E \subset \bigcup_{j=1}^{k}{I_j}$,则不需要继续,否则,令

\[\delta_k = \sup\{|I|:I \in \Gamma, I \cap I_j = \emptyset,j=1,\cdots,k\},\]

则$\delta_k < \infty$,可以从$\Gamma$中选择出区间$I_{k+1}$满足$|I_{k+1}|>\frac{1}{2}\delta_k$,$I_{k+1} \cap I_j = \emptyset$,如此继续,可以得到一系列不相交区间$\{I_j\}$,且有$\sum|I_j|<\infty$,收敛的.

$S = E \backslash \bigcup_{1}^{n}{I_j}$,然后用$I_j$($j=n+1,n+2,\cdots$)的5倍大小的区间来覆盖$S$,从而可知$m^*(S)<\epsilon$.

2. 单调函数的可微性(Lebesgue定理) 若$f(x)$是定义在$[a,b]$上的单调上升实值函数,则$f(x)$的不可微点集为零测集,且有

\[\int_{a}^{b}{f'(x)dx} = f(b) – f(a).\]

证明这个定理用到了Dini导数,所以先研究一下Dini导数.

根据定义以及上下极限的定义,立即有结论:(1)$D^+f(x_0) \ge D_+f(x_0)$;(2)$D^-f(x_0) \ge D_-f(x_0)$.

下面的两个结论不是很明显,却也是很容易证明的:$D^+(-f) = -D_+(f)$;$D^-(-f) = -D_-(f)$.

这里给出证明:

用$F$表示$-f$,则

\[\begin{aligned}
D^+(-f) &= D^+(F) = \overline{\lim}_{h \rightarrow 0}{\frac{F(x_0 + h) – F(x_0)}{h}} \\
&=\overline{\lim}_{h \rightarrow 0}{\frac{-f(x_0+h) + f(x_0)}{h}} = -\underline{\lim}_{h \rightarrow 0}{\frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}} \\
&=-D_+(f).
\end{aligned}\]

只需要注意上极限和$\sup$有关,下极限与$\inf$有关.

$f(x)$在$x_0$点可微,当且仅当四个Dini导数等于某个有限值.其他情形$f(x)$在$x_0$点都是不可导的.若$D^+(f)=D_+(f)$为有限值,则右导数存在,$D^-(f)=D_-(f)$为有限值,则左导数存在.

Lebesgue定理实际上就是要证明:对于$(a,b)$中几乎处处$x$,有$D_-f(x)=D^-f(x)=D_+f(x)=D^+f(x)$,问题只需要作进一步转化:

\[\begin{aligned}
E_1 &= \{x : D^+f(x) > D_-f(x)\}\\
E_2 &= \{x : D^-f(x) > D_-+(x)\}
\end{aligned}\]

当$x \notin E_1 \cup E_2$时,$D^+f(x) \le D_-f(x)$,$D^-f(x) \le D_+f(x)$,即

\[D^+f(x) \le D_-f(x) \le D^-f(x) \le D_+f(x),\]

而$D_+f(x) \le D^+f(x)$,故有$D_-f(x)=D^-f(x)=D_+f(x)=D^+f(x)$.

若能证明$E_1$与$E_2$为零测集,则结论成立.

而$E_1$与$E_2$可以通过$-f$与$f$之间的关系来相连,故只需要证明其中之一即可.

$E_1$进一步分解:

\[E_1 = \bigcup_{r,s \in Q_+}{\{x : D^+f(x) > r > s > D_-f(x)\}},\]

$A = A_{r,s}=\{x : D^+f(x) > r > s > D_-f(x)\}$,则只需证明$m(A_{r,s}) = 0$即可.

这里唯一值得注意的是这里集合转换的方式.剩下的详细证明见课本,证明之中用到了Vitalli覆盖定理.

\[\begin{aligned}
&\int_{a}^{b}{[f(x + \frac{1}{n}) – f(x)]dx} \\
=&\int_{a}^{b}{f(x + \frac{1}{n})dx} – \int_{a}^{b}{f(x)dx} \\
=&\int_{a + \frac{1}{n}}^{b + \frac{1}{n}}{f(x)dx} – \int_{a}^{b}{f(x)dx} \\
=&-(\int_{a}^{a + \frac{1}{n}}{f(x)dx} + \int_{a + \frac{1}{n}}^{b}{f(x)dx}) + \int_{a + \frac{1}{n}}^{b}{f(x)dx} + \int_{b}^{b + \frac{1}{n}}{f(x)dx} \\
=&\int_{b}^{b+\frac{1}{n}}{f(x)dx} – \int_{a}^{a + \frac{1}{n}}{f(x)dx}.
\end{aligned}\]

书中给出了一个例子,说明”单调函数几乎处处可微”是不能改进的.这里不能改进是什么含义?首先完全可微的单调函数是存在的,例如$f(x)=x$,而这里已经说明单调函数几乎处处可微,也就是说,存在单调函数,它在某个零测集上是不可微的,而在其他地方是可微的.

这个例子的构造还是有一点典型性的,使用函数级数的方法.

$E \subset (a,b)$,$m(E)=0$,取$G_n \supset E$,且$m(G_n) < 1/2^n$,

\[f_n(x) =m([a,x] \cap G_n),\]

则$f_a(x)$单调且连续,令$f(x) = \sum{f_n(x)}$,则由于$|f_n(x)|<\frac{1}{2^n}$,故$f(x)$是存在的,而且是连续的.

在高等数学中,许多例子都是通过函数级数的方式构造的.

3. (Fubini逐项微分)设$\{f_n(x)\}$是$[a,b]$上的递增函数列,且$\sum_{n=1}^{\infty}{f_n(x)}$在$[a,b]$上收敛,则

\[\frac{d}{dx}(\sum_{n=1}^{\infty}{f_n(x)}) = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{d}{dx}f_n(x)}, \quad a.e.x\in [a,b].\]

当时没有做这个定理的相关笔记,证明见课本.