书中引入Lebesgue积分是通过以下方式:首先定义简单可测函数的定义,然后定义非负可测函数的定义,最后引入一般可测函数的积分定义.这样做的意图很明显,这是一个从简单到复杂的过程,可测函数可以用简单可测函数逼近,对于简单可测函数的积分,有着直观意义.

非负可测函数的积分

概念方面自然是几个关于函数的积分定义.

概念1:非负可测简单函数的积分:

\[h(x)=\sum_{i=1}^{p}{c_i\chi_{A_i}{(x)}},\]

$E \in \mathcal{M}$,定义$h$在$E$上的积分为

\[\int_{E}{h(x)dx} = \sum_{i=1}^{p}{c_im(E \cap A_i)}.\]

注意,对于可测函数来说,定义域已经是一个非常一般的点集,不一定是区间了,另一方面,这里$dx$是$R^n$上Lebesgue测度的标志,暂时没有什么含义(至少我目前只能理解到此).

概念2:非负可测函数的积分:$f(x)$是$E$上的非负可测函数,$f$在$E$上的积分为

\[\int_{E}{f(x)dx}=\sup_{\substack{h(x) \le g(x) \\ x\in E}}\{\int_{E}{h(x)dx}:h(x)\text{是}R^n\text{上的非负简单可测函数}\},\]

这里$\int_{E}{f(x)dx}$可以是$\infty$,若$\int_{E}{f(x)dx}<\infty$,则称$f(x)$在$E$上是可积的.

正如一直以来指出的,最重要的是这几个概念所具有的各种性质:

(1)线性性质:在泛函分析中,可积函数可以组成一个线性空间.

书中首先证明了简单可测函数的积分具有线性性质,而后推广到非负可测函数:

设$f(x)$,$g(x)$是$E$上的非负可测函数,$\alpha$,$\beta$是非负常数,则

\[\int_{E}{(\alpha{f(x)} + \beta{g(x)})dx} = \alpha\int_{E}{f(x)dx} + \beta\int_{E}{g(x)dx}.\]

首先,对非负简单可测函数作证明,分几步.

第一步:

\[\int_{E}{\alpha{f(x)}dx} = \alpha\int_{E}{f(x)dx}.\]

设$f(x)=\sum_{i=1}^{p}{c_i\chi_{A_i}(x)}$,则$\alpha{f(x)}=\sum_{i=1}^{p}{\alpha{c_i}\chi_{A_i}(x)}$.于是

\[\int_{E}{\alpha{f(x)}dx} = \sum_{i=1}^{p}{\alpha{}c_im(E \cap A_i)}=\alpha\sum_{i=1}^{p}{c_im(E \cap A_i)}=\alpha\int_{E}{f(x)dx}.\]

第二步:

\[\int_{E}{(f(x)+g(x))dx} = \int_{E}{f(x)dx} + \int_{E}{g(x)dx},\]

设$f(x)=\sum_{i=1}^{p}{c_i\chi_{A_i}(x)}$,$f(x)=\sum_{i=1}^{q}{d_i\chi_{B_i}(x)}$,则$f(x)+g(x)$在$A_i \cap B_j$上的值是$c_i+d_j$.

\[\begin{aligned}
\int_{E}{(f(x)+g(x))dx}&=\sum_{i=1}^{p}{\sum_{j=1}^{q}{(c_i+d_j)m(E \cap A_i \cap B_j)}} \\
&= \sum_{i=1}^{p}{c_i\sum_{j=1}^{q}{m(A \cap A_i \cap B_j)}} + \sum_{j=1}^{q}{d_j\sum_{i=1}^{p}{m(E \cap A_i \cap B_j)}} \\
&= \sum_{i=1}^{p}{c_im(A \cap A_i)} + \sum_{j=1}^{q}{d_jm(E \cap B_j)}
\end{aligned}\]

这里必须注意到:

\[\begin{aligned}
E \cap A_i &= E \cap A_i \cap R^n = E \cap A_i \cap (\cup{B_j})\\
E \cap B_j &= E \cap B_j \cap R^n = E \cap B_j \cap (\cup{A_i})
\end{aligned}\]

$E \cap A_i$之间互不相交,$E \cap B_j$之间互不相交.

对于非负可测函数来说,同样分这样几步:

第一步:

\[\int_{E}{cf(x)dx} = c\int_{E}{f(x)dx}, \quad x \ge 0\]

根据定义:

\[\int_{E}{f(x)dx} = \sup_{\substack{h(x) \le f(x)\\ x \in E}}{\{\int_{E}{h(x)dx}\}}\]

于是

\[\begin{aligned}
\int_{E}{cf(x)dx} &= \sup_{\substack{h(x) \le cf(x)\\ x \in E}}{\{\int_{E}{ch(x)dx}\}} = \sup_{\substack{\frac{1}{c}h(x) \le f(x)\\ x \in E}}{\{\int_{E}{h(x)dx}\}} \\
&= \sup_{\substack{\frac{1}{c}h(x) \le f(x)\\ x \in E}}{\{c\int_{E}{\frac{h(x)}{c}dx}\}} = c\sup_{\substack{\frac{1}{c}h(x) \le f(x)\\ x \in E}}{\{\int_{E}{\frac{h(x)}{c}dx}\}}
\end{aligned}\]

第二步:

\[\int_{E}{(f(x)+g(x))dx} = \int_{E}{f(x)dx} + \int_{E}{g(x)dx},\]

在证明这个结论之前,先证明Levi渐升列积分定理:一个关于函数列极限的积分问题.

设定义在$E$上的非负可测函数列:

\[f_1(x) \le f_2(x) \le \cdots \le f_k(x) \le \cdots,\]

且有$\lim{f_k(x)} = f(x)$, $x \in E$,则

\[\lim{\int_{E}{f_k(x)dx}} = \int_{E}{f(x)dx}.\]

也就是说积分和极限可以交换顺序(这也是前面提到的Riemann积分要求太严格的地方之一).

有了这个定理,那么我们可以用简单可测函数逼近可测函数,从而从简单可测函数的积分线性性质可以推出非负可测函数的积分线性性质.

要证明Levi渐升列积分定理,书中首先讨论了几个辅助命题.

(A)若$\{E_k\}$是$R^n$中的递增可测集合列,$h(x)$是$R^n$上的非负可测简单函数,则$\int_{E}{h(x)dx} = \lim{\int_{E_k}{h(x)dx}}$,$E=\cup{E_k}=\lim{E_k}$.

设$h(x)=\sum{c_i\chi_{A_i}{(x)}}$,则

\[\begin{aligned}
\int_{E}{h(x)dx} &= \sum{c_im(E \cap A_i)} \\
&=\sum{c_i\lim{m(E_k \cap A_i)}} = \lim{\sum{c_im(E_k \cap A_i)}} \\
&=\lim{\int_{E_k}{h(x)dx}}.
\end{aligned}\]

这里使用了可测集的性质:$\lim{m(E_k \cap A)} = m(E \cap A)$.

(B)设$f(x)$,$g(x)$是$E$上的非负可测函数,若$f(x) \le g(x)$,$x\in E$,则$\int_{E}{f(x)dx} \le \int_{E}{g(x)dx}$.

$h(x) \le f(x)$,$h(x) \le g(x)$, 可以得出$\int_{E}{h(x)dx} \le \int_{E}{g(x)dx}$

\[\begin{gather*}
\sup\{\int_{E}{h(x)dx}\} \le \int_{E}{g(x)dx} \\
\int_{E}{f(x)dx} \le \int_{E}{g(x)dx}
\end{gather*}\]

(C)若$f(x)$是$E$上的非负可测函数,$A$是$E$中的可测子集,则$\int_{A}{f(x)dx} = \int_{E}{f(x)\chi_{A}{(x)}dx}$.

$h(x) \le f(x)$,$x \in A$,变换一下集合有$h(x)\le f(x)\chi_{A}(x)$,$x\in E$.

接下来回到Levi渐升列积分定理:

根据(B)有$\int_{E}{f_k(x)dx} \le \int_{E}{f_{k+1}(x)dx} \le \int_{E}{f(x)dx}$,这里递增的存在极限,

\[\lim_{k \rightarrow \infty}{\int_{E}{f_k(x)dx}} \le \int_{E}{f(x)dx},\]

下面需要证明反向不等式:

$0 < c < 1$,设$h(x) \le f(x)$,令$E_k=\{x \in E:f_k(x) \ge ch(x)\}$,则$\lim{E_k} = E$,(因为$\lim_{k \rightarrow \infty}{f_k} = f$,$f_k(x) \ge h(x)>ch(x)$)

于是有$\lim{\int_{E_k}{ch(x)dx}} = \int_{E}{ch(x)dx}$,$\lim{\int_{E}{f_k(x)dx}} \ge c\int_{E}{h(x)dx}$,可得结论.

容易证明:

当$E$为可测集时,$\int_{E}{f(x)dx}=0$,根据定义即可.因为此时显然有$\int_{E}{h(x)dx}=0$.

若$f(x)=g(x)$ a.e.,$x \in E$,则有$\int_{E}{f(x)dx}=\int_{E}{g(x)dx}$.

令$E_1=\{x \in E:f(x) \neq g(x)\}$,$E_2=E\backslash E_1$,则$m(E_1)=0$.

\[\begin{aligned}
\int_{E}{f(x)dx} &= \int_{E}{f(x)(\chi_{E_1}(x) + \chi_{E_2}(x))dx} \\
&= \int_{E_1}{f(x)dx} + \int_{E_2}{f(x)dx} = \int_{E_2}{g(x)dx} \\
&= \int_{E}{g(x)dx}
\end{aligned}\]

若$f(x)$是$E$上的非负可积函数,则$f(x)$在$E$上是几乎处处有限的.

$E_k = \{x \in E: f(x) \ge k\}$,则

\[\begin{gather*}
\{x \in E: f(x) = +\infty\}=\cap{E_k},\\
k \cdot m(E_k) \le \int_{E_k}{f(x)dx} \le \int_{E}{f(x)dx} < +\infty,
\end{gather*}\]

因此$\lim{m(E_k)}=0$.

(逐项积分):对于积分与级数的可交换性问题,现在条件基本上没有了(不需要什么条件了).

$\{f_k(x)\}$为$E$上的非负可测函数列,则$\int_{E}{\sum{f_k(x)}dx} = \sum{\int_{E}{f_k(x)dx}}$.

证明只需要利用前面的Levi渐升列积分定理即可

\[S_n(x) = \sum_{1}^{n}{f_k(x)},\]

则$S_n(x)$成立一个递增列.

作为推论有:(把集合划分):

$E_k \in \mathcal{M}$,$E_i \cap E_j = \emptyset$,($i \neq j$),若$f(x)$是$E=\cap{E_k}$上的非负可测函数,则

\[\int_{E}{f(x)dx} = \int_{\bigcup{E_k}}{f(x)dx}=\sum{\int_{E_k}{f(x)dx}}.\]

这只需使用特征函数即可:

\[f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}{f(x)\chi_{E_k}(x)},\]

即可得出结论.

这里有一个观点需要注意:通过点集的特征函数,积分与测度问题是可以相互转化的,也就是说积分问题可以转化为测度问题,而测度问题又可转化为积分问题.

书中给出了一个例子:

若$E_1$,$E_2$,$\cdots$,$E_n$是$[0,1]$中的可测集,$[0,1]$中每一点至少属于上述集合中的$k$($k \le n$)个,则在$E_1$,$E_2$,$\cdots$,$E_n$中必有一个点集的测度大于或等于$k/n$.(这类似于鸽笼源里).

本节最后是极为重要的Fatou引理:

若$\{f_k(x)\}$是$E$上的非负可测函数列,则$\int_{E}{\underline{\lim}{f_k(x)dx}} \le \underline{\lim}{\int_{E}{f_k(x)dx}}$.

注意这里用的是下极限,而不是极限,因为$\{f_k\}$的极限不一定存在.

证明还是比较简单的,只要利用上下极限的定义,构造出单调的函数列即可.

$\underline{\lim}{f_k(x)}$的定义为:$\underline{\lim}{f_k(x)} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\{\inf_{k \ge n}{f_k(x)}\}}$.

令$g_n(x) = \inf_{k \ge n}\{f_k(x)\}$,则$g_n(x)$单调递增,于是有

\[\begin{aligned}
\int_{E}{\underline{\lim}{f_k(x)dx}}&=\int_{E}{\lim{g_n(x)}dx} = \lim{\int_{E}{g_n(x)dx}} \\
&=\lim_{n \rightarrow \infty}{\int_{E}{\inf_{k \ge n}\{f_k(x)\}dx}} \\
&\le \lim_{n \rightarrow \infty}{(\inf_{k \ge n}{\int_{E}{f_k(x)}})} = \underline{\lim}{\int_{E}{f_k(x)dx}}
\end{aligned}\]

Fatou引理的应用在于判断极限函数的可积性.若$\int_{E}{f_k(x)dx} \le M$,则$\int_{E}{\underline{\lim}{f_k(x)}dx} \le M$.其中的不等式是可以成立的,书中提供了一个例子:

\[f_n(x)=\begin{cases}
0, &x=0 \\
n, &0<x<\frac{1}{n},\\
0, &\frac{1}{n} \le x \le 1.
\end{cases}\]

则

\[\int_{[0,1]}{f_n(x)dx} = n \cdot \frac{1}{n} = 1,\]

注意到$\lim{f_n(x)} = 0$,因此

\[\int_{[0,1]}{\lim{f_n(x)}dx} = 0 < 1 = \int_{[0,1]}{f_n(x)dx}.\]

注意到在微积分课程中,我们是用划分$x$轴的方法来定义Riemann积分的,下面的定理说明我们可以用划分$y$轴的方法来定义Lebesgue积分.

设$f(x)$是$E$上的几乎处处有限的非负可测函数,$m(E)<\infty$,在$[0,\infty)$上作如下划分:

\[0 = y_0 < y_1 < \cdots < y_k < y_{k+1} < \cdots \rightarrow \infty\]

其中$y_{k+1}-y_k < \delta$,$k=0,1,\cdots$,若令$E_k = \{x \in E: y_k \le f(x) < y_{k+1}\}$, $k=0,1,\cdots$,则$f(x)$在$E$上可积的,当且仅当级数$\sum_{k=0}^{\infty}{y_km(E_k)}<\infty$,此时有

\[\lim_{\delta \rightarrow 0}{\sum_{k=0}^{\infty}{y_km(E_k)}} = \int_{E}{f(x)dx}.\]

证明:根据$E_k$的定义,显然有

\[\begin{aligned}
\sum{y_km(E_k)} &\le \int_{E}{f(x)dx} \le \sum{y_{k+1}m(E_k)} \\
&< \sum{\delta{}m(E_k)} + \sum{y_km(E_k)} = \delta{}m(E) + \sum{y_km(E_k)}
\end{aligned}\]

$\int_{E}{f(x)dx}$总是存在的,只不过当$\int_{E}{f(x)dx} < \infty$时认为$f(x)$可积,有了这个夹逼的不等式易知结论成立,而$\delta \rightarrow 0$时,$\delta{}m(E) \rightarrow 0$.