开集和闭集是拓扑学中的基本概念, 在分析中, 在研究测度的时候, 需要研究点集的属性, 需要这些基本的拓扑概念. 更一般的拓扑概念参考凯莱的《一般拓扑学》.
概念1. 闭集: 若$E’ \subset E$, 则称$E$为闭集. $\bar{E} = E \cup E’$称为$E$的闭包. $E$为闭集时有$E = \bar{E}$.
概念2. 开集: $G \subset R^n$, 若$G^c = R^n \backslash G$为闭集, 则称$G$为开集. 注意这里开集的定义使用了闭集的概念, 它们是一对对偶的概念.
概念3. Borel集: 在$R^1$中, 最简单的点集就是区间了, 在$R^n$中, 最简单应该是矩体, 接下来并应该是开集和闭集, Borel集是开集和闭集的组合, 它是由一组概念组成:
($F_{\sigma}$; $G_{\delta}$集) 若$E \subset R^n$是可数个闭集的并集, 则称$E$为$F_{\sigma}$集, 若$E \subset R^n$是可数个开集的交集, 则称$E$为$G_{\delta}$集. 由De.Morgan法则可知, 这也是一对对偶概念.
($\sigma$-代数) 设$\Gamma$是由集合$X$中的一些子集所构成的集合族, 且满足下列条件, 则称$\Gamma$为一$\sigma$-代数.
- $\emptyset \in \Gamma$;
- 若$A \in \Gamma$, 则$A^c \in \Gamma$;
- 若$A_n \in \Gamma$, $n=1,2,\cdots$, 则$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{A_n} \in \Gamma$.
(生成$\sigma$-代数) $\Sigma$是集合$X$中的一些子集构成的集合族, 对于包含$\Sigma$的$\sigma$-代数$\Gamma$, 记包含$\Sigma$的最小$\sigma$-代数为$\Gamma(\Sigma)$, 称之为由$\Sigma$生成的$\sigma$-代数.
有了这些概念, 可以定义Borel集了: 由$R^n$中一切开集构成的开集族所生成的$\sigma$-代数称为Borel $\sigma$-代数, 其元素称为Borel集.
后面还有一个关于Cantor三分集的概念, 不过不准备在这里讨论了. 下面先考虑开集, 闭集, Borel集之间的关系和性质.
首先是开集和闭集的一些对偶性质:
| O1: $\emptyset$和$R^n$是开集 | C1: $R^n$和$\emptyset$是闭集 |
| O2: 有限个开集的交集是开集 | C2: 有限个闭集的并集是闭集 |
| O3: 无限个开集的并集是开集 | C3: 无限个闭集的交集是闭集 |
这两组结论是开集和闭集的基本性质, 实际上在拓扑学的公理化体系中, 这通常用来定义拓扑, 不过这里反过来, 先有了闭集的概念, 再有这些性质, 证明见课本.
在前面讨论的概念中, 与闭集相联系的有一个闭包的概念, 对于开集, 与之相联系, 也有一个内核的概念: 内点和内核(对应于闭集的极限点, 导集)
对于$x \in E$, $\exists \delta > 0$, 使$B(x, \delta) \subset E$, 则称$x$为$E$之内点, $E$的内点全体记为$\dot{E}$, 称为$E$的内核.
开集是集合中每个点都是内点的集合, $\forall x \in E$, $\exists \delta > 0$, 使$B(x, \delta) \subset E$, 证明见课本.
对于开集和闭集, 下面的结论极为重要, 它涉及到开集和闭集的构造, 由两部分组成:
- $R^1$中的非空开集是可数个互不相交的开区间的并集;
- $R^n$中的非空开集$G$是可列个互不相交的半开闭方体的并集.
(i)中提到的开区间是这样来构造的: $\forall x \in E$($R^1$中的开集), 存在$(a, b)$使得$x \in (a, b)$, 且$(a, b) \subset E$, 然后令$(a, b)$逐渐放大(膨胀), 往两边延伸, 一直到不能延伸为止, 延伸的方法是: $a = \inf\{x | (x, b) \subset E \}$, $b = \sup\{x|(a, x) \subset E\}$, 这样构成的区间称为构成区间, 最后有$E = \bigcup_{x \in E}{Ix}$.
以这种方法分类, 实际上可以认为$I_x$是一个等价类: 当$a, b \in I_x$时, 认为$a \sim b$, 对于等价类有一个重要的性质: $I_a$与$I_b$要么相等, 要么不相交.
对于(ii), 以如下方式构造这些半开闭方体.
首先用格点将$R^n$分为可列个边长为1的半开闭方体, 其全体记为$\Gamma_0$.
将$\Gamma_0$的每一边二等分, 则每个方体由$2^n$个边长为$1/2$的半开闭方体组成, 这些全体记为$\Gamma_1$.
如此可以构造一个序列$\{\Gamma_k\}$, $\Gamma_k$中每一个方体的边长为$2^{-k}$, 而且是$\Gamma_{k+1}$中$2^n$个互不相交的的方体的并集.
最后这样来取构成$G$的半开闭方体: 第一步从$\Gamma_0$中取, 要求是全部包含在$G$中的方体, 记为$H_0$, 第二步从$\Gamma_1$中取, 要求是完全包含在$G\backslash H_0$中, 记为$H_1$, …, 如此继续即可.
$R^n$中的开集还有一个重要的事实: $R^n$中存在由可列个开集构成的开集族$\Gamma$, 使得$R^n$中任一开集均是$\Gamma$中某些开集的并集.
\[\Gamma:\{B(x, \frac{1}{k}) : x\text{是}R^n\text{中的有理点}, R\text{是自然数}\}.\]
由前面开集的性质, 任意个开集的并集还是开集, 这样来构造这些开集: $\forall x \in G$, $\exists \delta$, $B(x, \delta) \subset G$, 取$B(x’, 1/k)$, 这里$k > 2/\delta$, $d(x, x’) < 1/k$, 则有$B(x’, 1/k) \subset B(x, \delta) \subset G$, $G = \cup{B(x’, 1/k)}$.
下面两个定理分别涉及到了闭集族和开集族, 是实数理论中的基本定理的推广.
(i) Cantor闭区间套定理: 若$\{F_k\}$是$R^n$中的非空有界闭集列, 且满足$F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset F_k \supset \cdots$, 则$\cap{F_k} \neq \emptyset$.
我在前面证明Bolzano-Weierstrass定理时使用闭区间套定理, 现在看来应该使用书中的证明方法(利用$R^1$的Bolzano-Weierstrass定理). 实际上, 在$R^1$中这两个定理是等价的, 在这里也应该是.下面从Bolzano-Weierstrass定理推导出这个Cantor闭区间套定理, 这里可能不容易利用$R^1$中闭区间套定理, 因为这里使用了闭集这个更一般的概念.
首先: $F_k$是闭集, 因而$\cap{F_k}$也是闭集, 而且$\cap{F_k} = \lim_{k \rightarrow \infty}{F_k}$.
其次: 在$F_k$中取点$x_k \in F_k$, 对于无穷点列$\{x_k\}$, 由Bolzano-Weierstrass定理, 存在极限点$x$, 为了方便, 不妨设$\lim{x_k} = x$, 下面证明$x \in \cap{F_k}$, 也就是说, $\forall k$, $x \in F_k$.
事实上, 由$\lim{x_k} = x$, 可知点列$\{x_n\}_{n \ge k}$也是收敛于$x$的, 即可知$x \in F_k$, 因为$F_k$是闭集, 因而$\cap{F_k} \neq \emptyset$, 获证.
书中的证明取点$x_k \in F_k – F_{k-1}$, 是为了有互异点列, 实际上是不必要的, 只不过需要对我的证明做更完整的讨论.
(ii) Heine-Borel有限子覆盖定理: $R^n$中有界闭集的任一开覆盖均含有一个有限子覆盖.
关于覆盖的定义见课本.
$F$为有界闭集, $\Gamma$为一开覆盖: $\Gamma = \{G_{\alpha}\}$, 这样考虑:
$G_1, \cdots, G_n \in \Gamma$, $F_n = F \cap (G_1 \cup \cdots \cup G_n)^c$, 则$F_1 \supset F_2 \supset \cdots \supset F_n \supset \cdots$
原结论是证明: $\exists N$, 使得$F_N = \emptyset$. 否则这个过程可以一直继续下去.
对于一般的点集, 需要把有限放宽为可数, 有结论:
$R^n$中点集$E$的任一开覆盖$\Gamma$都含有一个可数子覆盖.
利用前面构造的$\Gamma’: \{B(x, 1/k) : x \in R^n, \text{为有理点}, k \in N\}$, 则$\Gamma’$是可列的, 而且任意点集$E$都可以由$\Gamma’$中的集合覆盖(因为有理点是稠密的), 另一方面, $\Gamma’$和开覆盖$\Gamma$之间可以建立一对多的对应关系: 即$\forall B(x, 1/k) \in \Gamma’$, 我们都找一个$G \in \Gamma$来与之对应, 要求很简单, $B(x, 1/k) \cap G \cap E \neq \emptyset$. 这样取出的所有$G$覆盖了$E$, 且是可数的.
在这些地方的证明中, 有理数起了特殊的作用, 一个重要原因在于它既是可列的, 又是稠密的.
上面的取法还有些问题:
$\forall x\in E$, $x \in B(x’, 1/k)$, 则$G_x$, $x \in G_x \cap B(x’, 1/k)$.
设$B_n$覆盖了$E$, 接下来这样选择$\Gamma$中的开集$G$.
任取一个$G_1 \in \Gamma$, 使$B_1 \cap G_1 \cap E \neq \emptyset$, 这是存在的, 令$E_1 = E – G_1$, 接下来取$G_2 \in \Gamma$, 使$B_2′ \cap G_2 \cap E_1 \neq \emptyset$, 这也是存在的, 不过这里$B_2’$不一定是$B_2$, $E_2 = E- G_1 – G_2$.
这个证明思路有问题.
$\forall x \in E$, $\exists G$, 使得$x \in G$, 从而存在$B(x’, 1/k) \subset G$, 且$x \in B(x’, 1/k)$, 然后考虑所有这些$B(x’, 1/k)$, 这是一个可列集, 并且每个$B(x’, 1/k)$包含于某个$G$中, 取所有的$G$即可, 获证.
这个结论的威力在于我们把无限转化为有限, 对于有限的东西, 我们可以明确给出最大值和最小值. 它会经常用到. 对于这种从无限中包含有限的命题在泛函分析中还会出现, 事实上这些概念都已经推广.
在泛函分析中引入了下列概念(具体见张恭庆等人著的《泛函分析讲义》).
列紧集: 如果集合$H$中的任意点列在$X$中有一个收敛子列, 则称$H$为列紧集.
紧集: 对于集合$M$, 如果$X$中每个覆盖$M$的开集族中有有限个个开集覆盖$M$, 则称$M$是紧集.
这两个概念在泛函分析及拓扑学中极为重要.
在$R^n$中: Heine-Borel定理的逆命题是成立的: 设$E \subset R^n$, 若$E$的任一开覆盖都包含有限子覆盖, 则$E$是有界闭集. (用泛函分析的概念就是: 在$R^n$中, 紧集和有界闭集是等价的, 对于一般的拓扑空间, 这个结论不成立.)
有界性的证明就用了前面我提到的有限这个结论: 开集族$E_n = \{ x | |x| < n\}$是可以覆盖$E$的, 按照前提条件, 存在有限个开集就可以覆盖$E$, 不妨设为$E_{n_1}$, $\cdots$, $E_{n_k}$, 取$N = \max\{n_1, \cdots, n_k\}$, 则$E_N$就可以覆盖整个$E$, 有界.
关于闭集的证明: 闭集是包含了所有极限点的集合, 详细证明见课本, 课本中的证明思路还是用到了有限性, 只不过构造开集族的方法不同: $\forall y \in E^c$($E$的余集), $\forall x in E$, $\exists \delta_x > 0$, 使得$B(x, \delta_x) \cap B(y, \delta_x) = \emptyset$, 这样的开集族$\{B(x, \delta_x)\}$可以覆盖$E$, 从有限性可知$B(y, \delta_x) \cap E = \emptyset$, $y \notin E’$, $E’ \subset E$. 即说明$E$的极限点都属于$E$.
有了开集, 闭集以及相关的定理, 可以推广连续函数的概念:
$f(x)$是$E \subset R^n$上的实值函数, $x_0 \in E$, 如果对任意的$\epsilon > 0$, 存在$\delta > 0$, 使得当$x \in E \cap B(x_0, \delta)$时有$|f(x) – f(x_0)| < \epsilon$, 则称$f(x)$在$x = x_0$处连续, 若$E$中任一点皆为$f$的连续点, 则称$f$在$E$上连续.
和连续函数相关的结论后面证明, 下面先了解和Borel集相关的Baire定理.
设$E \subset R^n$是$F_{\delta}$集, 即$E = \bigcup\limits_{k=1}^{\infty}{F_k}$, $F_k$是闭集, 若每个$F_k$皆无内点, 则$E$也无内点.
反证. 若$E$有内点, 设为$x_0$, 则存在$\delta_0$使$B(x_0, \delta_0) \subset E$, $F_1$没有内点, 于是存在$x_1$使$x_1 \in B(x_0, \delta_0)$, 但$x_1 \notin F_1$, 有$F_1$是闭集, $\exists \delta_1$使$B(x_1, \delta_1) \cap F_1 = \emptyset$, 且$B(x_1, \delta_1) \subset B(x_0, \delta_0)$, 因为$x_1$是$B(x_0, \delta_0)$的内点, 对$B(x_1, \delta_1)$应用于$F_2$, $B(x_2,\delta_2) \cap F_2 = \emptyset$, $B(x_2, \delta_2) \subset B(x_1, \delta_1)$, …, 这时$\{x_n\}$构成一个基本列, 于是$x_n \rightarrow x$, 而且有$|x – x_k| < \delta_k$, $x \in \bar{B}(x_k, \delta_k)$, $\forall k$, 这个时候要想$x \notin F_k$, 我们应对前面的包含关系要求更高一些, 即要求$\bar{B}(x_k, \delta_k) \cap F_k = \emptyset$, 这样就会与$x \in E$引起矛盾, 原命题获证.
前面证明过程中, $\bar{B}(x_k, \delta_k) \cap F_k = \emptyset$和$\bar{B}(x_k, \delta_k) \subset B(x_{k-1}, \delta_{k-1})$应该是存在的, 设$B(x, \delta) \cap F = \emptyset$, $B(x, \delta) \subset B(y, \delta’)$, 则取$\frac{\delta}{2}$即有$\bar{B}(x, \frac{\delta}{2}) \cap F = \emptyset$, $\bar{B}(x, \frac{\delta}{2}) \subset B(y, \delta’)$.
这个证明还是充分利用了内点, 闭集的性质. 关于Baire定理可以参考《微积分的历程:从牛顿到勒贝格》.
接下来证明书中出现的一些结论:
(1) $f(x)$是定义在$R^n$上的连续函数, 则对任意$t \in R^1$, 点集$\{x | f(x) \ge t\}$和$\{x | f(x) \le t\}$都是闭集.
(2) 函数$f(x)$在$B(x_0, \delta)$上有定义, 令$\omega(x_0) = \lim_{\delta \rightarrow 0}{\sup\{|f(x’) – f(x”)| : x’, x” \in B(x_0, \delta)\}}$, 称$\omega(x_0)$为$f(x)$在$x_0$处的振幅. 若$G$是$R^n$中的开集且$f(x)$定义在$G$上, 则对任意的$t \in R^1$, 点集$H = \{ x \in G : \omega(x) < t\}$是开集. 证明见课本, 关键是一层一层展开$\omega(x)$的定义, 这个结论有一定用途, 对于$\omega(x) = 0$的点$x$应该是$f(x)$的连续点.
(3) 对于Heine-Borel定理, 其中的有界和闭集两个条件, 有这样的例子:
$R^1$中的自然数集是闭集, 但是无界, 对于开覆盖$\{(n – 1/2, n + 1/2)\}$不存在有限子覆盖.
对于点集$\{1, 1/2, \cdots, 1/n, \cdots\}$, 是一个有界集合, 但不是闭集, 作开覆盖$\{(\frac{1}{n} – \frac{1}{2n}, \frac{1}{n} + \frac{1}{2n})\}$, 不存在有限子覆盖.
(4) 设$F$是$R^n$中的有界闭集, $G$是开集且$F \subset G$, 则存在$\delta > 0$, 使得当$|x| < \delta$时, 有
\[F + \{x\} \equiv \{ y + x: y \in F\} \subset G,\]
$\forall x \in F$, $\exists \delta_x$, 使得$B(x, \delta_x) \subset G$, 则对于开覆盖$\{B(x, \delta_x)\}$可以覆盖$F$, 从而取出有限个可以覆盖$F$, 令$\delta$为这些$\delta_x$中最小的即可.
(5) 下面的结论和连续函数有关: 设$F$是$R^n$中的紧集, $f \in C(F)$, 则
- $f(x)$是$F$上的有界函数, 即$f(F)$是$R^1$中的有界集;
- 存在$x_0 \in F$, $y_0 \in F$, 使得$f(x_0) = \sup\{f(x) : x \in F\}$, $f(y_0) = \inf\{f(x): x \in F\}$;
- $f(x)$在$F$上是一致连续的, 即对任给的$\epsilon > 0$, 存在$\delta > 0$, 当$x’, x” \in F$且$|x’ – x”| < \delta$时有
\[|f(x’) – f(x”)| < \epsilon;\] - 若$E \subset R^n$上的连续函数列$\{f_k(x)\}$一直收敛于$f(x)$, 则$f(x)$是$E$上的连续函数.
刚好可以借这道题来复习数学分析中的内容.
(I). $f$是连续函数, 说明$\forall x \in F$, $\exists \delta_x > 0$, 使得当$x’ \in F \cap B(x_0, \delta_x)$时, $|f(x’) – f(x)| < 1$. 对于$F$的一个开覆盖$\{B(x, \delta_x)\}$, 由于$F$是紧集, 存在有限个开覆盖, 不妨设为
\[B(x_1,\delta_1), B(x_2, \delta_2), \cdots, B(x_n, \delta_n),\]
于是$\forall x \in F$, $x$属于某个$B(x_k, \delta_k)$, 从而$|f(x) – f(x_k)| < 1$, $|f(x)| < 1 + |f(x_k)|$, 令$M = \max\{|f(x_1)|, \cdots, |f(x_n)| \} + 1$, 则$|f(x)| < M$, 获证.
(II). $f(x)$在$F$上有界, 那么根据确界原理, $f(F)$存在上确界和下确界, 按照上确界的定义: $\forall \epsilon > 0$, $\exists x \in F$, 使$f(x) > \sup\{f(x)\} – \epsilon$, $f(x) < \sup\{f(x)\}$, 令$\epsilon = 1/n$, 则有$x_n \in F$, 且$\sup\{f(x)\} – f(x_n) < 1/n$, 显然我们可以假设$x_n$均不相同, 不管如何, $\{x_n\}$有界, 从而存在极限点$x_0$, 而$F$是闭集, 则有$x_0 \in F$, 显然有$f(x_0) = \sup\{f(x)\}$. 对于$\inf$可以做同样的讨论.
(III). 证明方法同(i), $\forall \epsilon > 0$, $\forall x \in F$, $\exists \delta_x$, 使$x’ \in F \cap B(x, \delta_x)$时, $|f(x’) – f(x)| < \epsilon/2$, 这样开集族$\{B(x, \delta_x)\}$覆盖$F$, 从而存在有限个$B(x_1, \delta_1)$, $\cdots$, $B(x_n, \delta_n)$覆盖$F$, 令$\delta = \min(\delta_1, \cdots, \delta_n)/2$, 则当$|x’ – x”| < \delta$时, 没有这么简单.
设$x’ \in B(x_k, \delta_k)$, 则$|x’ – x_k| < \delta_k$,
$x” \in B(x_i, \delta_i)$, 则$|x” – x_i| < \delta_i$.
$|f(x’) – f(x”)| < |f(x’) – f(x_k)| + |f(x_k) – f(x_i)| + |f(x_i) – f(x”)| < 2\epsilon + |f(x_k) – f(x_i)|$.
下面需要证明$|f(x_k) – f(x_i)|$可以任意小. 从这里可以发现上述思路有问题.
仍然是使用上面的方法, 只不过开覆盖使用$\{B(x, \delta_x/2)\}$. 这个时候取$\delta = \min\{\delta_x/2\}$, 则有:当$|x’ – x”| < \delta$时, $x’ \in B(x_k, \delta_k/2)$, 则$|x’ – x_k| < \delta_k/2$, $|x’ – x”| < \delta < \delta_k/2$, 可以得到$|x” – x_k| < |x’ – x_k| + |x’ – x”| < \delta_k$. 而根据我们的选择, 此时有$|f(x’) – f(x”)| < |f(x’) – f(x_k)| + |f(x_k) – f(x”)| < \epsilon$.
见鬼, 一步之差, 居然没有想到.
(IV) 关于一致收敛, 首先应了解其定义:
$f_n(x) \rightrightarrows f(x)$, $\forall \epsilon > 0$, $\exists N$, 当$n > N$时, $\forall x \in E$, 有$|f(x_n) – f(x)| < \epsilon$.
$\forall x_0 \in E$, (1)$\forall \epsilon > 0$, $\exists N$, 当$n > n$时, $|f_n(x_0) – f(x_0)| < \epsilon / 3$, (2)$\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta_1$, 当$x \in B(x_0, \delta_1) \cap E$时, $|f_n(x) – f_n(xx_0)| < \epsilon/3$, 结合(1)和(2), 当$x \in B(x_0, \delta_1)$时, 有
\[\begin{aligned}
|f(x) – f(x_0)| &< |f(x) – f_n(x)| + |f_n(x) – f_n(x_0)| + |f_n(x_0) – f(x_0)|\\
&< \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3 = \epsilon.
\end{aligned}\]
即$f(x)$是连续的.
例子: 设$f(x)$是定义在$E \subset R^n$上的连续函数, 对任意的$t \in R^1$, 令$E_t = \{x \in E: f(x) > t\}$, 则有在$R^n$中包含$E_t$的开集$G_t$, 使得$E_t = E \cap G_t$.
如果$f(x)$是定义在$R^n$上的函数, 那么$E_t$是一个开集, 下面先从连续性和$E_t$的定义出发讨论:
$f(x)$在$E$上连续, $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta$, 当$x \in E \cap B(x_0, \delta)$时, $|f(x) – f(x_0)| < \epsilon$.
$x_0 \in E_t$ $\Rightarrow$ $f(x_0) > t$, 令$\epsilon = -t + f(x_0)$, 则$\exists \delta$, 当$x \in E \cap B(x_0, \delta)$时, $|f(x) – f(x_0)| < \epsilon$ $\Rightarrow$ $-\epsilon < |f(x) – f(x_0)| < \epsilon$ $\Rightarrow$ $f(x) > f(x_0) – \epsilon$, $f(x) < f(x_0) + \epsilon$, 由此可知, $f(x) > t$且$f(x) < 2f(x_0) – t$, 从而$x \in E_t$, 令$G_t = \cup{B(x, \delta)}$, 则$G_t$是开集, 显然有$E_t \subset G_t$, $E_t \subset E$, 从而$E_t \subset E \cap G_t$.
$\forall x \in E \cap G_t$, 则存在$B(x_0, \delta_0)$, 使$x \in E \cap B(x_0, \delta_0)$, 按照我们的定义, 有$f(x) > t$, $x \in E_t$, 由此可知$E_t = E \cap G_t$.
例: 有理点集$\bigcup_{k=1}^{+\infty}\{r_k\}$为$F_{\sigma}$集, 有理数集$Q$不是$G_{\delta}$集.
后一个结论的证明使用了Baire定理.
$Q = \{r_k, k=1,2,\cdots\}$为有理数集, 使用反证法, $Q = \bigcap_{1}^{\infty}{G_i}$.
\[R^1 = (R^1 \backslash Q) \cup Q = (\bigcup{G_i^c}) \bigcup (\bigcup_{1}^{\infty}{r_k}),\]
而$\bar{G_i} = R^1$(因为$Q \subset G_i$), 于是$G_i^c$无内点. $R^1$为可列个无内点之闭集的并集, 由Baire定理, $R^1$无内点, 矛盾.
例(函数连续点的结构): 若$f(x)$是定义在开集$G \subset R^n$上的实值函数, 则$f$的连续点集是$G_{\delta}$集.
连续点应该就是振幅为0的点, 前面已经有例子表明$H_t = \{x \in G : \omega(x) < t\}$是开集, 而
\[H = \bigcap_{n=1}^{\infty}\{x \in G: \omega(x) < \frac{1}{n}\}\]
即为所求之连续点集, 为$G_{\delta}$集.
例(连续函数可微点集的结构): 若$f(x)$是$R^1$上的连续函数, 则$f$的可微点集是$F_{\sigma\delta}$集, 这里$F_{\sigma\delta}$集是指可数个$F_{\sigma}$集的交集, 其补集就是可数个$G_{\delta}$集的并集.
书中的证明使用了上下导数的概念.
\[\begin{aligned}
A &= \{ a | \varliminf_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) – f(a)}{x – a}} < \varlimsup_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) – f(a)}{x – a}} \}\\
B &= \{ a | \varliminf_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) – f(a)}{x – a}} = -\infty \}\\
C &= \{ a | \varlimsup_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) – f(a)}{x – a}} = +\infty \}
\end{aligned}\]
取有理点集$Q$, 则
\[\begin{aligned}
A &= \bigcup_{r,R \in Q}\{a | \varliminf_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) – f(a)}{x – a}} \le r < R \le \varlimsup_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) – f(a)}{x – a}}\} \\
&= \bigcup_{\substack{r,R \in Q \\R > r}}{(\{a | \varliminf_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) – f(a)}{x – a}} \le r\} \cap \{a | \varlimsup_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) – f(a)}{x – a}} \ge R\})}
\end{aligned}\]
\[\begin{gather*}
\{a | \varliminf_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) – f(a)}{x – a}} \le t\} = \bigcap_{n,k=1}^{\infty}{G_{n,k}},\\
G_{n,k} = \{a | \exists x, 0 < |x – a| < 1/n, \frac{f(x)-f(a)}{x-a} > t – 1/k\},
\end{gather*}\]
上导数和下导数就是$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$当$x \rightarrow a$时的上极限和下极限.
这里主要是要证明$G_{n,k}$是开集. 注意$f(x)$是连续的.
设$a_0 \in G_{n,k}$, 即存在$x$, $0 < |x – a_0| < 1/n$, 使$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} > t – \frac{1}{k}$.
目标是找出$\delta$, 使$B(a_0, \delta) \subset G_{n,k}$, 若$a \in B(a_0, \delta)$, 即$|a – a_0| < \delta$. $\exists x_a$, 使$0 < |x_a – a| < 1/n$, $\frac{f(x_a) – f(a)}{x_a – a} > t – \frac{1}{k}$.
记$F(x, a) = \frac{f(x) – f(a)}{x-a}$, 则$F(x, a)$是$x$与$a$的连续函数. $F(x, a) > t – 1/k$, 存在$\delta$, 使$a \in B(a_0, \delta)$时, $F(x,a) > t – 1/k$.
这个例子需要再想想, 争取做到自己想出来.
例: 若$\{f_n(x)\}$是定义在$R^1$上的连续函数列, 且有$\lim_{n \rightarrow}{f_n(x)} = f(x)$, $x \in R^1$, 则
(I) 若$G \subset R^1$是开集, 则$f^{-1}(G)$是$F_{\sigma}$集.
(II) $f(x)$的连续点集是$R^1$中的稠密集.
(I) $R^1$中的开集可以由可数个开区间组成, 对于任意的开区间$(a, b)$, 考察$f^{-1}(a, b)$.
\[f^{-1}(a,b) = \{x | a < f(x) < b\} = \{x | f(x) > a\} \cap \{x | f(x) < b\}\]
$\lim_{n \rightarrow \infty}{f_n(x)} = f(x)$意味着$\forall \epsilon > 0$, $\exists N$, 当$n > N$时, $|f_n(x) – f(x)| < \epsilon$.
\[\{x | f(x) > t\} = \bigcap_{n=1}^{\infty}{\{ x | f_n(x) > t\}},\]
而$\{ x | f_n(x) > t\}$是开集,
\[\{x | f(x) > t\} = \bigcup_{\substack{\epsilon \in Q \\ \epsilon > 0}}{\bigcup_{k=1}^{\infty}{\bigcap_{n=k}^{\infty}{\{x : f_n(x) \ge a + \epsilon\}}}}\]
闭集, $F_{\sigma}$集.
(II) 考察$f$的不连续点集: $a$为$f$的不连续点, $\exists p,q$使$p < f(a) < q$, $a_n \rightarrow a$, $f(a_n) \notin (p, q)$,
\[\begin{gather*}
O = \bigcup_{\substack{p,q \in Q\\ p < q}}{(\overline{f^{-1}(A_{pq})} \backslash f^{-1}(A_{p,q}))} \\
A_{pq} = R^1 \backslash(p, q),
\end{gather*}\]
$f^{-1}(A_{pq})$是$G_{\delta}$集, $\overline{f^{-1}(A_{pq})} \backslash f^{-1}(A_{p,q})$为$F_{\sigma}$集, 下面证明它无内点, 这样由Baire定理, $O$无内点, 从而连续点集在$R^1$中稠密.
$\overline{f^{-1}(A_{pq})} \backslash f^{-1}(A_{p,q})$实际上就是$\bar{A} \backslash A$无内点, $\bar{A} = A \cup A’$, 于是$\bar{A} \backslash A \subset A’$.
设$x \in \bar{A}$, $x \notin A$, 于是存在$x_n \in A$, 使$x_n \rightarrow x$, 注意$x_n \notin \bar{A} \backslash A$, 于是$\forall \epsilon$, $B(x, \epsilon)$都存在点$x_n$不属于$\bar{A}$, 即$x$不是内点.
下面进入Cantor三分集:
$[0,1] \subset R^1$, 将$[0, a]$三等分, 移去中央三分开区间$I_{11} = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$, 留下部分记为$F_1 = [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}, 1]$, 把$F_1$中的两个区间各三等分, 去掉中央的三分开区间, …, 剩余下来的$C = \bigcap_{1}^{\infty}{F_n}$, 称为Cantor三分集, 它有如下性质:
(I) $C$是非空有界闭集. (闭区间套定理)
(II) $C = C’$(完全集);
(III) $C$无内点;
(IV) $C$的基数为$2^{\aleph_0}$, 事实上, $C$中的点与三进制小数展开$\sum{\frac{a_i}{3^i}}$($a_i = 0, 2$)对应.
(V) $C$的长度为0, 另一方面,$[0,1] \backslash C$的长度为1.
在$[0,1]$中可以作出总长度为$\delta$($0 < \delta < 1$)的稠密开集, $p = (2\delta + 1)/\delta$, 仍然是把$[0,1]$分成三份(不再等分), 只不过把在最中间的$1/p$移去, 第二次移去中间的$1/p^2$, $\cdots$, $1/p^n$, $\cdots$,则长度为:
\[\sum{2^{n-1}(\frac{1}{n})^n} = \frac{1}{p-2} = \delta.\]
Cantor函数:
$C$是$[0,1]$中的Cantor集, 其中的点用三进位小数$x = 2\sum{a_i/3^i}$表示:
(I) $x \in C$, $\varphi(x) – \varphi(2\sum{a_i/3^i}) = \sum_{1}^{\infty}{a_i/2^i}$, $\varphi(x)$单调上升, 且$\varphi(C) = [0,1]$;
(II) 定义在$[0,1]$上的$\phi(x)$: $\phi(x) = \sup\{\varphi(y) : y \in C, y \le x\}$,
(1)$\phi(x)$单调上升, (2)$\phi(x)$在移去的开区间内为常数, $\phi(x)$称为Cantor函数.
这一章的许多证明使用了有理点的稠密性和可数性, 应该多加注意.