以前读库洛什的《群论》,对于其中几个符号不甚理解.
(1)所有$n$次置换都是对换之积.包含在该群中的所有对换的集合是$n$次对称群的一个生成系.$n$次对称群可由两个生成元
\begin{gather*}a = (1,2)\\b = (1,2,\cdots,n)\end{gather*}
生成.
\[b^{-k}ab^k=(k+1,k+2),\quad k \le n-2\]
对于i<j-1,有
\[(j,j-1)\cdots(i+2,i+1)(i,i+1)(i+1,i+2)\cdots(j-1,j)=(i,j)\]
而在《连续群》一书中也出现了类似记号.
(2)G3:$a=(1,2)(3)$;$b=(1,3)(2)$;$ab=(1,3,2)$;$ba=(1,2,3)$;$aba=(1)(2,3)$;$e=(1)(2)(3)$.
我们一般认为变换的乘积是指连续施行变换.
今日读了熊全淹教授的《近世代数》(上海科学技术出版社,第二版,P26)一书,对此有了理解.
“我们用(1,2,3,4)表示这样的排列,它是把1换成2,把2换成3,3换成4,最后的4换成最前面的1,其余的文字都不变动.这种排列又常叫做循环排列,由两个文字组成的循环排列,叫做对换….为了方便,我们更规定由一个文字组成的循环排列是恒等映射.”
对于(1),我们取$k=1$,则
\[\begin{aligned}b^{-1}ab^1&=\begin{pmatrix}1 &2 &\cdots &n-1 &n \\n &1 &\cdots &n-2 &n-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &2 &3 &\cdots &n-1 &n \\2 &1 &3 &\cdots &n-1 &n\end{pmatrix}\\&\ \ \begin{pmatrix}1 &2 &3 &\cdots &n-1 &n \\2 &3 &4 &\cdots &n &1\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}1 &2 &3 &\cdots &n-1 &n \\1 &3 &2 &\cdots &n-1 &n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 &3\\3 &2\end{pmatrix}=(2,3)\end{aligned}\]
当$k=2$时,
\[b^{-2}=\begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 &\cdots &n-1 &n \\n-1 &n &1 &2 &\cdots &n-3 &n-2\end{pmatrix}\]
于是
\[\begin{aligned}b^{-2}ab^2&=\begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 &\cdots &n-1 &n \\n-1 &n &1 &2 &\cdots &n-3 &n-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &2 &3 &\cdots &n-1 &n \\2 &1 &3 &\cdots &n-1 &n\end{pmatrix}\\&\ \ \begin{pmatrix}1 &2 &3 &\cdots &n-1 &n \\3 &4 &5 &\cdots &1 &2\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 &5 &\cdots &n-1 &n \\1 &2 &4 &3 &5 &\cdots &n-1 &n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 &4\\4 &3\end{pmatrix}=(3,4)\end{aligned}\]
对于(2)我们同样可以加以验证.从无知进入有知,实在是令人愉快的事.
为了熟悉上述记号,选做《近世代数》的一习题.
试证下列各式:
(I)$(12)(34)(15)(23)(45)=(153)(24)$;
(II)$(1ij)=(12j)^2(12i)(12j)$;
(III)$(ac)(bd)=(abd)(acd)$.
这里需要注意变换的次序:对于变换$\varphi\tau$,需要先$\tau$,然后$\varphi$.
证明:对于(I):
\[\begin{aligned}(12)(34)(15)(23)(45)&= \begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 &5 \\1 &2 &3 &5 &4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 &5 \\1 &3 &2 &4 &5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 &5 \\5 &2 &3 &4 &1\end{pmatrix}\\&\ \ \begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 &5 \\1 &2 &4 &3 &5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 &5 \\2 &1 &3 &4 &5\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1 &2 &3 &4 &5 \\5 &4 &1 &2 &3\end{pmatrix} \\&=(153)(24)\end{aligned}\]
对于(II):
\[\begin{aligned}(12j)^2(12i)(12j)&=\begin{pmatrix}1 &2 &i &j \\2 &j &i &1\end{pmatrix}^2\begin{pmatrix}1 &2 &i &j \\2 &i &1 &j\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &2 &i &j \\2 &j &i &1\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1 &2 &i &j \\i &2 &j &1\end{pmatrix}=(1ij)\end{aligned}\]
对于(III):
\[\begin{aligned}(ac)(bd)&=\begin{pmatrix}a &b &c &d \\a &d &c &b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a &b &c &d \\c &b &a &d\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}a &b &c &d \\c &d &a &b\end{pmatrix}\\(abd)(acd)&=\begin{pmatrix}a &b &c &d \\c &b &d &a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a &b &c &d \\b &d &c &a\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}a &b &c &d \\c &d &a &b\end{pmatrix}\end{aligned}\]
等式成立.