这一节最重要的概念自然就是有界变差函数了,它是什么?它具有什么样的性质?

概念:设$f(x)$是定义在$[a,b]$上的实值函数,作分划:

\[\Delta:a = x_0 <x_1<\cdots<x_n=b,\]

及相应的和

\[v_{\Delta} = \sum_{i=1}^{n}{|f(x_i) – f(x_{i-1})|},\]

令$V_{a}^{b}{f} = \sup\{v_{\Delta}\}$,称之为$f$在$[a,b]$上的全变差,若$V_{a}^{b}{f}<\infty$,则称$f(x)$是$[a,b]$上的有界变差函数.其全体为$BV[a,b]$.

例子:

(1) 单调函数必为有界变差函数,$f(x) \in BV[a,b]$,$V_{a}^{b}{f} = |f(b)-f(a)|$.

(2) 若$f(x)$是定义在$[a,b]$上的可微函数,且$|f'(x)|\le M$,则$f(x)$是$[a,b]$上的有界变差函数.

这需要使用微分中值定理,

\[\sum{|f(x_i) – f(x_{i-1})|} = \sum{|f'(\xi_i)|(x_i-x_{i-1})} \le M\sum{(x_i-x_{i-1})}=M(b-a).\]

(3) $[0,1]$上定义的函数:

\[f(x) = \begin{cases}
x\sin{\frac{\pi}{x}}, &1 \ge x > 0 \\
0, &x=0
\end{cases}\]

则$f(x)$不是有界变差函数.

考虑分割:

\[\Delta:0<\frac{2}{2n-1} < \frac{2}{2n-3}<\cdots<\frac{2}{3}<1,\]

于是

\[v_{\Delta} = \frac{2}{2n-1} + (\frac{2}{2n-1} + \frac{2}{2n-3}) + \cdots + (\frac{2}{5} + \frac{2}{3}) + \frac{2}{3} = 2\sum{\frac{2}{2k-1}} \rightarrow \infty.\]

下面讨论有界变差函数的各种性质:

1. 设$f \in BV([a,b])$,则$f(x)$是$[a,b]$上的有界函数;$BV([a,b])$构成一个线性空间.

证明如下:(1)考虑特殊的分划:$a<x<b$,则$v_{\Delta} = |f(x)-f(a)| + |f(b)-f(x)| < \infty$,这说明$|f(x)|$是有限的,

\[\begin{aligned}
|2f(x)|&\le|2f(x)-f(a)-f(b)| + |f(a)+f(b)|\\
&\le|f(x)-f(a)|+|f(b)-f(x)|+|f(a)+f(b)|\\
&<M+|f(a)+f(b)|\\
|f(x)|&< \frac{1}{2}(M+|f(a)+f(b)|).
\end{aligned}\]

(2)设$f,g\in BV([a,b])$,$h=\alpha{f}+\beta{g}$,$\alpha,\beta \in R$,下面证明$h \in BV([a,b])$.

分两步,第一步$\alpha{f} \in BV([a,b])$,这只需注意到$V_{a}^{b}{(\alpha{f})}=|\alpha|V_{a}^{b}{(f)}$即可.第二步,$f+g\in BV([a,b])$,这只需注意到$V_{a}^{b}{(f+g)} \le V_{a}^{b}{(f)} + V_{a}^{b}{(g)}$即可.至此获证.

2. 若$f(x)$是$[a,b]$上的实值函数,$a<c<b$,则$V_{a}^{b}{(f)} = V_{a}^{c}{(f)} + V_{c}^{b}{(f)}$.

证明比较简单.对于$[a,b]$的任一分划$\Delta$,若$c$是$\Delta$的分点,则有$v_{\Delta} \le V_{a}^{c}(f) + V_{c}^{b}(f)$,如果不是$\Delta$的分点,把$c$作为分点插入,记这个新的分划为$\Delta’$,则$v_{\Delta}\le v_{\Delta’}$,利用三角不等式,这些可以得出$V_{a}^{b}(f)\le V_{a}^{c}(f) + V_{c}^{b}(f)$.

反向不等式的证明利用$V_{a}^{b}(f)$的定义,对于$\sup$有一个反向的不等式,只不过需要一个$\epsilon$,详细证明见课本.

3. (Jordan分解)$f \in BV([a,b])$,当且仅当$f(x)=g(x)-h(x)$,其中$g(x)$与$h(x)$是$[a,b]$上的单调上升函数.

(1)$g(x)=\frac{1}{2}V_{a}^{x}(f) + \frac{1}{2}f(x)$,$g(x)=\frac{1}{2}V_{a}^{x}(f) – \frac{1}{2}f(x)$.$V_{a}^{x}(f)$是单调上升的,因为$V_{a}^{x_1}(f) = V_{a}^{x}(f) + V_{x}^{x_1}(f) > V_{a}^{x}(f)$.

(2)单调函数是有界变差函数,$BV([a,b])$是线性空间.

这个分解揭示了有界变差函数与单调函数的关系,而单调函数是几乎处处可微的,因而有界变差函数是几乎处处可微的,且$f'(x)$是可积的.

4. 若$f\in L([a,b])$,则其不定积分$F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$是$[a,b]$上的有界变差函数,其全变差为$V_{a}^{b}(F) = \int_{a}^{b}{|f(t)|dt}$.

$\Delta:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$;

\[\begin{aligned}
v_{\Delta} &= \sum{|F(x_i) – F(x_{i-1})|} = \sum{|\int_{a}^{x_i}{f(t)dt} – \int_{a}^{x_{i-1}}{f(t)dt}|}\\
&=\sum{|\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(t)dt}|} \le \sum_{x_{i-1}}^{x_i}{|f(t)|dt} = \int_{a}^{b}{|f(t)dt|}
\end{aligned}\]

因此$V_{a}^{b}{(F)} \le \int_{a}^{b}{|f(t)|dt}$.

反向不等式的证明见课本,证明思路以前很少见到,需要仔细领会.

$v_{\Delta} = \sum{|\int_{a_{i-1}}^{x_i}{f(t)dt}|} \le V_{a}^{b}{(F)}$,这是定义.

$\sum{|\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(t)dt}| \ge \sum{c_i\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(t)dt}}}$,$c_i$为$\pm1$.