集合和子集合

在概念上没有什么值得特别注意的，唯一需要明白：在这门学科中研究的集合，其元素都是确定的。

例1.1 设$r$, $s$, $t$是三个互不相同的数，且$A=\{r, s, t\}$, $B = \{r^2, s^2, t^2\}$, $C=\{rs, st, rt\}$, 若$A=B=C$, 则$\{r, s, t\} = \{1, \omega, \omega^2\}$.

在这道题目的证明中，使用了集合元素的互异性。$A$, $B$, $C$三个集合要相等, 必须都有三个元素, 且互不相等. 这里有一个技巧值得注意: 如果从元素本身去考虑, 就要区分各种情况($r = r^2$, $s = s^2$, $\cdots$); 但是一旦从集合整体上考虑, 难度大大降低. 原因在于我们不需要确定每个$r$, $s$, $t$, 而只需要确定集合的元素.

令$k = r + s + t = r^2 + s^2 + t^2 = rs + st + tr$, 则

$$\begin{aligned}
k^2 &= (r + s + t)^2 = r^2 + s^2 + t^2 \\
&= 2(rs + st + tr) = 3k
\end{aligned}$$

故$k = 3$或者$0$, 又$rst = r^2s^2t^2$, 可以知道$rst = 1$或者$0$(这个不可能, 否则$C$中不能有3个元素), 接下来利用根和系数的关系, 可以知道$r$, $s$, $t$是方程$x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = 0$或者$x^3 – 1= 0$的根, 前一个方程只有相等的根, 不可能, 只能是后者.

集合的运算

集合的运算包括并, 交, 余集(差与补集), 对称差. 不过对于分析课程来说, 有一个概念必须考虑: 极限. 正如在微积分中, 数的运算考虑加减乘除之外, 还要考虑极限.

在这里, 对称差的概念一般书上没有, 需要注意一下.最值得注意的是De.Morgan法则和集合极限的定义.下面先总结概念, 然后说明各个概念之间的关系—公式. 从某种程度上说, 后者才是主要的, 概念在某种程度上只是一个助记符, 离开了关系, 孤立的概念是没有意义的.

定义1.2.1 并集:

$$\begin{aligned}
A \cup B &= \{ x | x \in A \text{或} x \in B\} \\
\bigcup_{\alpha \in I}{A_\alpha} &= \{ x | \exists \alpha \in I, x \in A_\alpha \},
\end{aligned}
$$

交集:

$$\begin{aligned}
A \cap B &= \{ x | x \in A \text{且} x \in B\} \\
\bigcap_{\alpha \in I}{A_\alpha} &= \{ x | \forall \alpha \in I, x \in A_\alpha \},
\end{aligned}
$$

差集:

$$A \backslash B = \{ x | x \in A \text{但} x \notin B \},$$

如果把$A$换成确定的包含$B$的集合$X$, 此时称$X \backslash B$为$B$的补集, 记为$B^c$.

对称差: $A \triangle B = (A \backslash B) \cup (B \backslash A)$, 由属于两个集合之一, 且只属于两个集合之一的元素组成.

下面讨论集合列的极限, 它在这里极为重要. 它的定义可以和数列极限中上下极限相类比. 在数列中, 如果是任意数列, 是有可能不存在极限的, 但是对于单调数列来说, 一定存在广义极限(包括$+\infty$和$-\infty$), 下面回忆一下相关概念, 便于比较(数列极限的相关概念来自张筑生的<数学分析新讲>第三册).

对于任意实数序列$\{x_n\}$, 可以构造出两个单调序列$y_n$和$z_n$.

$$y_n = \inf_{k \ge n}{x_k}, \quad z_n = \sup_{k \ge n}{x_k}, \quad n = 1, 2, \cdots$$

易知$y_n$单调上升, $z_n$单调下降. 于是$\lim{y_n}$和$\lim{z_n}$都存在. 又注意到对于单调上升的数列来说, 其极限就是其上确界, 即$\lim{y_n} = \sup\limits_{n}{y_n}$. 单调下降的数列的极限就是其下确界, 故$\lim{z_n} = \inf\limits_{n}{z_n}$. 对于$x_n$, 我们定义$\lim{y_n}$为其下极限, 定义$\lim{z_n}$为其上极限. 即

$$\begin{aligned}
\varliminf{x_n} = \lim{y_n} &= \sup\limits_{n}{\inf\limits_{k \ge n}{x_n}} \\
\varlimsup{x_n} = \lim{z_n} &= \inf\limits_{n}{\sup\limits_{k \ge n}{x_n}}
\end{aligned}$$

这个名称是源于: 序列$x_n$的所有其他极限点介于$\varliminf{x_n}$和$\varlimsup{x_n}$之间.

对于集合情形, 我们首先定义出单调集合序列的极限, 再考虑一般集合.

对于集合列$\{A_k\}$有下列定义:

递减集合及其极限:

$$A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_k \supset \cdots, \lim{A_k} = \bigcap_{k=1}^{\infty}{A_k}.$$

递增集合及其极限:

$$A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A_k \subset \cdots, \lim{A_k} = \bigcup_{k=1}^{\infty}{A_k}.$$

对于一般集合, 构造出单调递减序列和单调递增序列:

$$B_n = \bigcup_{k=n}^{+\infty}{A_k}, \quad C_n = \bigcap_{k=n}^{\infty}{A_k}, \quad n = 1, 2, \cdots$$

显然有$B_1 \supset B_2 \supset \cdots \supset B_n \supset \cdots$; $C_1 \subset C_2 \subset \cdots \subset C_n \subset \cdots$.

利用单调集合列, 定义上极限集

$$\varlimsup{A_n} = \lim{B_n} = \bigcap_{n=1}^{\infty}{\bigcup_{k=n}^{\infty}{A_k}}$$

下极限集

$$\varliminf{A_n} = \lim{C_n} = \bigcup_{n=1}^{\infty}{\bigcap_{k=n}^{\infty}{A_k}}$$

现在把两个概念比较一下, 取$\inf$对应于$\bigcap$, 取$\sup$对应于$\bigcup$, 那么两者完全可以对应起来.

如果下上限集相等, 则说$\{A_k\}$的极限存在: $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{A_n} = \varlimsup{A_n} = \varliminf{A_n}$.

在数学中, 还有其他概念使用类似的方式来定义, 例如积分, 后面的测度等, 实际上就是两边夹逼方式.

集合的直积概念(有些书称为笛卡尔积):

$$X \times Y = \{(x, y) | x \in X, y \in Y \}.$$

下面讨论这些概念之间的关系, 这是更重要的.

(1)对于交集和并集, 满足交换律, 结合律和分配律.

(2)关于补集, 差集与交, 并的关系, 最重要的就是De.Morgan法则:

$$(\bigcup_{\alpha \in I}{A_{\alpha}})^c = \bigcap_{\alpha \in I}{A_{\alpha}^{c}}, \quad (\bigcap_{\alpha \in I}{A_{\alpha}})^c = \bigcup_{\alpha \in I}{A_{\alpha}^{c}}$$

这是一个对偶关系, 其他还有:

$A \supset B$, 则$A^c \subset B^c$; $A \cap B = \emptyset$, 则$A \subset B^c$; $(A^c)^c = A$(幂等的).

(3)对称差的公式:

(i) $A \cup B = (A \cap B) \cup (A \triangle B)$. 注意到$(A \cap B) \cap (A \triangle B) = \emptyset$.

(ii) $A \triangle \emptyset = A$, $A \triangle A = \emptyset$, $A \triangle A^c = X$, $A \triangle X = A^c$.

(iii) 交换律和结合律: $A \triangle B = B \triangle A$, $A \triangle (B \triangle C) = (A \triangle B) \triangle C$.

(iv) 交与对称差满足分配律: $A \cap (B \triangle) = (A \cap B) \triangle (A \cap C)$.

(v) $A^c \triangle B^c = A \triangle B$.

(vi) 对于任意$A$与$B$, 存在唯一的集合$E$, 使得$E \triangle A = B$. ($E = B \triangle A$, 可以认为是某种程度的分解).

(4) 对于集合极限, 上极限集和下极限集还有一个等价的说法.

$$\begin{aligned}
\varlimsup_{k \rightarrow \infty}{A_k} &= \{x | \forall n \in \mathbb{N}, \exists k, k \ge n, x \in A_k \} \\
\varliminf_{k \rightarrow \infty}{A_k} &= \{x | \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall k \ge n_0, x \in A_k \}
\end{aligned}$$

证明比较简单,换成更通俗的说法: $\{A_k\}$的上限集是由属于$\{A_k\}$中无穷多个集合的元素组成, 而下限集由只不属于$\{A_k\}$中有限多个集合的元素构成, 易知

$$\varliminf{A_k} \subset \varlimsup{A_k}.$$

上,下限集有如下等式:

$$\begin{aligned}
E \backslash \varlimsup_{k \rightarrow \infty}{A_k} &= \varliminf_{k \rightarrow \infty}{(E \backslash A_k)} \\
E \backslash \varliminf_{k \rightarrow \infty}{A_k} &= \varlimsup_{k \rightarrow \infty}{(E \backslash A_k)}
\end{aligned}$$

这一节的几个例子难度较大, 而且具有启发性:

若$f(x)$是$R^1$上的实值函数, 则

$$\{x | l \le f(x) \le k\} = \{x | f(x) \ge l\} \cap \{x | f(x) \le k\}.$$

这个例子中集合的表示方法在测度论中经常使用, 因为可测函数定义是使用$\{x | f(x) \ge t\}$. 实际上, 我们写这样的式子的时候: $\{f(x) | l \le x \le k\}$和$\{x | l \le f(x) \le k\}$就已经开始涉及两种积分观念的差异了.

$f(x)$是$[a, b]$上的实值函数, 则

$$\begin{aligned}
\bigcup_{n=1}^{\infty}{\{ x \in [a, b] | |f(x)| < n\}} &= [a, b], \\
\bigcup_{n=1}^{\infty}{\{ x \in [a, b] | |f(x)| > \frac{1}{n}\}} &= \{ x \in [a, b]| |f(x)| > 0 \}.
\end{aligned}$$

这两个结论也是比较明显, 他们同样会在研究可测函数时用到.

设在$R^1$上有渐升函数列: $f_1(x) \le f_2(x) \le \cdots \le f_n(x) \le \cdots$, 且$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f_n(x)} = f(x)$, 对于给定的实数$t$, 令

$$E_n = \{ x | f_n(x) > t \}$$

则$E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n \subset \cdots$, $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{E_n} = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}{\{x | f_n(x) > t \}} = \{ x | f(x) > t\}$.

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{f_n(x)} = f(x) \Rightarrow f(x) \ge f_n(x), \forall n$, 即可推到出此结论.

设$E$, $F$是两个集合, 作集合列

$$A_k = \left\{
\begin{aligned}
E, \quad &k \text{为奇数} \\
F, \quad &k \text{为偶数}
\end{aligned}
\right.$$

则$\varlimsup{A_k} = E \cup F$, $\varliminf{A_k} = E \cap F$, $\lim{A_k}$不存在.

设$f_n(x)$和$f(x)$是定义在$R^1$上的实值函数, 则一切使$f_n(x)$不收敛于$f(x)$的点所组成的集合$D$可以表示为

$$D = \bigcup_{k=1}^{\infty}{\bigcap_{N=1}^{\infty}{\bigcup_{n=N}^{\infty}{\{ x||f_n(x) – f(x)| \ge \frac{1}{k} \}}}}$$

这个例子比较复杂,值得好好研究.

这里涉及到了函数列的收敛性, $f_n(x) \rightarrow f(x)$的含义:

$\forall \epsilon > 0$, $\exists N$, 当$n > N$时, $|f_n(x) – f(x)| < \epsilon$,

反之, $f_n(x)$不收敛于$f(x)$的含义是: 存在一个$\epsilon$. $\forall N$, 都存在$n_0 > N$使得$|f_n(x) – f(x)| \ge \epsilon$.

如果令$E_{\epsilon_n} = \{ x | |f_n(x) – f(x)| > \epsilon_n \}$, 那么上面的说法就是$\{E_{\epsilon_n}\}$的上极限集. 于是有

$$\bigcap_{N=1}^{\infty}{\bigcup_{n=N}^{\infty}{\{ x||f_n(x) – f(x)| \ge \epsilon_k \}}}$$

接下来需要对$\epsilon_k$求并集, 而$\epsilon_k$可以由$\epsilon_1 > \epsilon_2 > \cdots > \epsilon_k > \cdots$来构成, 令$\epsilon_k = \frac{1}{k}$即可得到结论.

这里面把函数性质表示成集合的做法在现代数学应该比较常用.